¿Cuáles son todos los homomorphisms entre los anillos de $\mathbb{Z}_{18}$$\mathbb{Z}_{15}$?

Question

Cualquier homomorphism $φ$ entre los anillos de $\mathbb{Z}_{18}$ $\mathbb{Z}_{15}$ está completamente definido por $φ(1)$. Así que a partir de

$$0 = φ(0) = φ(18) = φ(18 \cdot 1) = 18 \cdot φ(1) = 15 \cdot φ(1) + 3 \cdot φ(1) = 3 \cdot φ(1)$$

tenemos que $φ(1)$ es $5$ o $10$. Pero, ¿cómo puedo probar o refutar que estos dos son válidos homomorphisms?

Answer 1

Si uno tiene un homomorphism de dos anillos de $R, S$, e $R~$ tiene una identidad, entonces la identidad debe ser asignada a un elemento idempotente de $S$, debido a que la ecuación de $x^2=x$ se conserva bajo homomorphisms. Ahora $5$ no es un elemento idempotente en $\Bbb Z_{15}$, por lo que el mapa generado por $1 \to 5$ no es un homomorphism.

Sin embargo, el 10 es un elemento idempotente de $\Bbb Z_{15}$. En particular, el sub-anillo $T \subset \Bbb Z_{15}$ generado por 10 unidad 10. Ya que es aniquilada por 3, y, en consecuencia, por 18 años, es un unital homomorphism $\Bbb Z_{18} \to T$ (es decir, la asignación de $1$$10$). Para su segundo mapa es un legítimo homomorphism de los anillos (la composición con la inyección de $T \to \Bbb Z_{15}$).

Básicamente, el punto de esta respuesta es para comprobar que uno de sus mapas conserva las relaciones de los dos anillos, mientras que el otro no.

Answer 2

Continuando Akhil M la respuesta de arriba (los comentarios en ella están siendo empujado hacia abajo fuera de la vista): es también no es difícil sistemáticamente encontrar todos los idempotents en ${\mathbb Z}/n$. Es decir, por ejemplo con $n=pq$ con distintos números primos $p,q$, $\mathbb Z/n \approx \mathbb Z/p \oplus \mathbb Z/q$, por Sol-Ze del teorema (aunque' uno podría carpa sobre qué tipo de "suma"). Así, la resolución de la idempotente condición de $x^2=x$ mod $pq$ es equivalente a resolver la ecuación de mod $p$ y mod $q$. Los enteros mod de un primer formulario un campo, por lo que sabemos que sólo hay dos soluciones, los más obvios, $0,1$. Por lo tanto, la idempotents mod $pq$ 0-o-1 mod $p$ $0-or-1$ mod q. Obviamente 0 y 1 mod pq trabajo, pero/y también 0 mod p, pero/y 1 mod p, y vice-versa. En el caso que nos ocupa, tanto a los 6 y 10 no están muy claros idempotents.

Answer 3

Cito de la Wikipedia sobre la definición de un anillo homomorphism.

Más precisamente, si R y S son anillos, a continuación, un anillo homomorphism es una función f : R → S tal que1

• f(a + b) = f(a) + f(b) para todo a y b en R
• f(ab) = f(a) f(b) para todo a y b en R
• f(1) = 1

El último requisito es estar relajado. Podemos entonces sub en nuestro f, en este caso, f(a1)=5a o f(a1)=10a y ver si estas relaciones. Dado que estos son pequeños, finito y bien entendido por todos los grupos, el problema es fácil de resolver desde aquí.