Evaluar: $\int_{0}^\infty e^{-x^2} \cos^n(x) dx $

Question

Cómo evaluar: $$ \int_0^\infty e^{-x^2} \cos^n(x) dx$$

Alguien ha publicado esta pregunta en fb. Espero que no sea un duplicado.

Answer 1

Encontré una manera de hacerlo para $n \in \mathbb{N}$ . Comenzamos con

$$\cos^n(x)=\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^n = \frac{1}{2^n e^{inx}}(1+e^{2ix})^n = \frac{1}{2^n e^{inx}}\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}e^{2irx}$$

Por lo tanto,

$$\begin{aligned}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\cos^n(x)dx &=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\frac{1}{2^n e^{inx}}\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}e^{2irx} dx \\ &=\frac{1}{2^n}\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2+(2ir-in)x}dx\end{aligned}$$

Aquí podemos utilizar la fórmula, $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2+bx+c}dx=\sqrt{\pi}e^{b^2/4+c}$ . Al aplicarlo se obtiene

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\cos^n(x)dx= \frac{\sqrt{\pi}}{2^n}\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}\exp\left({\frac{-(2r-n)^2}{4}}\right)$$

El integrando es par, por lo que

$$\int_0^\infty e^{-x^2}\cos^n(x)dx=\boxed{\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2^{n+1}}\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}\exp\left({\frac{-(2r-n)^2}{4}}\right)}$$

Answer 2

Utilizando el fórmula de reducción de potencia para $\cos$ para los poderes de impar:

\begin {align} I &= \int_0 ^ \infty e^{-x^2} \cos ^n(x) \N - dx \\ &= \int_0 ^ \infty e^{-x^2} \left ( \frac {2}{2^n} \sum_ {k=0}^{(n-1)/2} \binom {n}{k} \cos {((n-2k)x)} \right ) \N - dx \\ &= \frac {2}{2^n} \sum_ {k=0}^{(n-1)/2} \binom {n}{k} \int_0 ^ \infty e^{-x^2} \cos {((n-2k)x)} \N-, dx \\ \end {align}

La integral interna es una generalización de la integral gaussiana y puede ser evaluado mediante la diferenciación bajo el signo integral : $$ \int_0^\infty e^{-x^2} \cos{((n-2k)x)} \, dx = \frac{1}{2} \sqrt{\pi} e^{-\frac{1}{4}(n-2 k)^2} $$

Por lo tanto, tenemos:

$$ I = \frac{\sqrt{\pi}}{2^n} \sum_{k=0}^{(n-1)/2} \binom{n}{k} e^{-\frac{1}{4}(n-2 k)^2} \qquad n \text{ odd} $$

No creo que haya una forma cerrada agradable para esta suma.

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En cuanto a las potencias pares, el mismo método da como resultado:

\begin {align} I &= \int_0 ^ \infty e^{-x^2} \cos ^n(x) \N - dx \\ &= \int_0 ^ \infty e^{-x^2} \left ( \frac {1}{2^n} \binom {n}{n/2} + \frac {2}{2^n} \sum_ {k=0}^{n/2-1} \binom {n}{k} \cos {((n-2k)x)} \right ) \N - dx \\ &= \frac { \sqrt { \pi }}{2^{n+1}} \binom {n}{n/2} + \frac {2}{2^n} \sum_ {k=0}^{n/2-1} \binom {n}{k} \int_0 ^ \infty e^{-x^2} \cos {((n-2k)x)} \N-, dx \end {align}

Por lo tanto:

$$ I = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{n+1}} \binom{n}{n/2} + \frac{\sqrt{\pi}}{2^n} \sum_{k=0}^{n/2-1} \binom{n}{k} e^{-\frac{1}{4}(n-2 k)^2} \qquad n \text{ even} $$