Estructura casi compleja en $\mathbb CP^2 \mathbin\# \mathbb CP^2$

Question

¿Por qué no $\mathbb CP^2 \mathbin\# \mathbb CP^2$ admite una estructura casi compleja?

Answer 1

De acuerdo con los comentarios aquí, una condición necesaria para que un $4$-colector de admitir casi una compleja estructura es $e+\tau = 0 \pmod 4$ donde $e$ es la característica de Euler y $\tau$ es de la firma. (No sé de referencia para este hecho).

Pero $\mathbb{C}P^2\sharp \mathbb{C}P^2$ tiene la Característica de euler $4$ (su homología de grupos que de $S^2\times S^2$) y su firma, $\tau$ $2$ (ya que la identidad representa la forma bilineal en la "costumbre" de $H^2(\mathbb{C}P^2\sharp\mathbb{C}P^2)$.)

A continuación,$e+\tau = 6 \cong 2 \pmod 4$.