Mostrar $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^{2}}{x^{2}+\ln^{2}(2\cos(x))}dx=\frac{\pi}{8}\left(1-\gamma+\ln(2\pi)\right)$

Question

Aquí es un interesante, aunque difícil, integral corrí a través de. Tiene una interesante solución que me lleva a pensar que es factible. Pero, ¿qué sería una buena estrategia?.

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^{2}}{x^{2}+\ln^{2}(2\cos(x))}dx=\frac{\pi}{8}\left(1-\gamma+\ln(2\pi)\right)$$

Esto se ve áspera. ¿Cuál sería un buen comienzo?. Probé varios de suscriptores en el fin de conseguir que en cierta forma el uso de la serie, LaPlace, algo, pero no hizo ningún progreso real.

Incluso traté de escribir una serie geométrica. Pero que en realidad no resultan en nada alentador.

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{k}\left(\frac{\ln(2\cos(x))}{x}\right)^{2k}$$

Gracias a todos.

Answer 1

Además de la agradable conjunto de referencias por Raymond Manzoni, aquí está mi prueba de la identidad. Francamente, no he visto estas referencias, sin embargo, lo que no estoy seguro de si esto ya aparece en uno de ellos.

Aquí me refiero a la siguiente identidad

$$ \binom{\alpha}{\omega} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left(1 + e^{i\theta}\right)^{\alpha} e^{-i\omega \theta} \; d\theta, \ \cdots \ (1) $$

cuya prueba se puede encontrar en mi blog.

Ahora vamos a $x$ ser un número real tal que $|x| < \frac{\pi}{2}$. Entonces la simple cálculo muestra que

$$ \log\left(1+e^{2ix}\right) = \log(2\cos x) + ix \quad \Longleftrightarrow \quad \Im \left( \frac {x}{\log\left(1+e^{2ix}\right)} \right) = \frac{x^2}{x^2 + \log^2(2\cos x)},$$

por lo tanto, tenemos

$$ \begin{align*}I &:= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{x^2 + \log^2(2\cos x)} \; dx = -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \Im \left( \frac{x}{\log\left(1+e^{2ix}\right)} \right) \; dx \\ y= -\frac{1}{8}\int_{-\pi}^{\pi} \Im \left( \frac{\theta}{\log\left(1+e^{i\theta}\right)} \right) \; d\theta = \frac{1}{8}\Re \left( \int_{-\pi}^{\pi} \frac{i\theta}{\log\left(1+e^{i\theta}\right)} \; d\theta \right). \end{align*}$$

La diferenciación de ambos lados de $(1)$, con respecto a $\omega$ y enchufar $\omega = 1$, tenemos

$$ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (-i\theta) \left(1 + e^{i\theta}\right)^{\alpha} e^{-i\theta} \; d\theta = \alpha \left(\psi_0(\alpha) - \psi_0(2)\right). $$

Ahora integrando ambas partes con respecto a $\alpha$ en $[0, 1]$,

$$ \begin{align*} -\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{i\theta}{\log \left(1 + e^{i\theta}\right)} \; d\theta &= \int_{0}^{1} \alpha \left(\psi_0(\alpha) - \psi_0(2)\right) \; d\alpha \\ &= \left[ \alpha \log \Gamma (\alpha) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \log \Gamma (\alpha) \; d\alpha \frac{1}{2}\psi_0(2) \\ y= -\frac{1}{2}\left( 1 - \gamma + \log (2\pi) \right), \end{align*}$$

donde hemos utilizado el hecho de que

$$ \psi_0 (1+n) = -\gamma + H_n, \quad n \in \mathbb{N}$$

y

$$ \begin{align*} \int_{0}^{1} \log \Gamma (\alpha) \; d\alpha & = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \log \left[ \Gamma (\alpha) \Gamma (1-\alpha) \right] \ d\alpha \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \log \left( \frac{\pi}{\sin \pi \alpha} \right) \; d\alpha \\ &= \frac{1}{2} \left( \log \pi \int_{0}^{1} \log \sin \pi \alpha \; d\alpha \right) \\ &= \frac{1}{2} \log (2\pi). \end{align*} $$

Por lo tanto, tenemos el resultado deseado.

Answer 2

Para aprender más acerca de este muy interesante integral voy a proporcionar los enlaces interesantes (la historia en sí es muy interesante, ya que fue un descubrimiento experimental primera de Glasser y Oloa) :

• página 28 de Bailey & Borwein 'Asistida por Ordenador Descubrimiento y la Prueba'
• Oloa del papel de 2007 "Algunos de Euler-tipo de integrales y una nueva racional de la serie de Euler de la constante' en google o Les Mathématiques-net (o en el enlace 'EULER_TYPE_INTEGRALS_2007.pdf aquí)
• Glasser & Maná 'La transformada de Laplace de la función psi'
• Dixit 2009 'La transformada de Laplace de la función psi'
• Amdeberhan & Moll 2010 'La transformada de Laplace de la función digamma: una integral debido a Glasser, el Maná y la Oloa
• Vildanov 2010 'Generalización de la Glasser - Maná - Oloa integral y algunos de los nuevos integrales de tipo similar'
• Coffey 2012 "Ciertos logarítmica integrales, incluyendo la solución de Mensual problema #tbd, valores zeta, y las expresiones de la Stieltjes constantes'

• Weisstein tiene referencias (ver eq. (24))

  Multa de la lectura !