Cómo estimar soluciones a una oda con un coeficiente de nilpotentes asintóticamente?

Question

Supongamos $f:\mathbb R\to\mathbb R^n$ satisface $$ f'(t) = A(t)f(t), $$ donde $A$ es un buen matriz de valores de la función. Si sé que la matriz $A(t)$ es asintóticamente nilpotent, ¿cómo podría demostrar un sub-exponencial de la estimación para la solución de $f$?

Para ser más explícitos, supongamos $A(t)^2\to0$ pero $A(t)\not\to0$$t\to\infty$. Entonces uno esperaría más lento que el exponencial (tal vez incluso lineal) de crecimiento para $f$; si $A$ $A^{-1}$ tenía más o menos constante de la norma, entonces uno esperaría un crecimiento exponencial. Mi principal interés es, en el caso de $A(t)^2\to0$, pero también se $A(t)^k\to0$ $k>2$ es interesante.

Si puedo aplicar Grönwall de la desigualdad a la función $t\mapsto|f(t)|^2$ y observar que $$ \frac{d}{dt}|f(t)|^2 = 2\langle f(t),A(t)f(t)\rangle \leq 2\|A(t)\|\cdot|f(t)|^2, $$ Tengo la exponencial de la estimación $$ |f(t)| \leq |f(0)|\exp\left(\int_0^t\|A(s)\|ds\right) $$ para $t>0$. Esta estimación es mucho peor de lo que yo esperaba en un asintóticamente nilpotent caso, pero no sé cómo conseguir un polinomio (o de otros sub-exponencial) estimación.

Ejemplo: $n=2$ $A(t)=\begin{pmatrix}0&1\\(1+t^2)^{-2}&0\end{pmatrix}$. Ahora $A(t)^2=(1+t^2)^{-2}I$ que va a cero, como se $t\to\infty$. La solución a nuestros ODE con $f(0)=(a,b)$ es $$ f(t) = \begin{pmatrix} \sqrt{1+t^2}(a+b\arctan(t)) \\ \frac1{\sqrt{1+t^2}}(at+b+bt\arctan(t)) \end{pmatrix}. $$ La solución crece esencialmente lineal: $|f(t)|\leq C|f(0)|(1+t)$ cualquier $t>0$ y algunas constantes $C$. Por otro lado, si yo uso Grönwall la desigualdad, tengo la estimación $$ 2\langle f(t),A(t)f(t)\rangle = 2f_1(t)f_2(t)[1+(1+t^2)^{-2}] \leq |f(t)|^2[1+(1+t^2)^{-2}], $$ que no puede ser mejorado significativamente. Conectando en Grönwall la desigualdad se da un crecimiento exponencial de la estimación de $f$, que es mucho más débil que la estimación lineal de la solución explícita. [El ejemplo termina aquí.]

Yo podría promover la ODA a una de segundo orden uno: $f''(t)=[A(t)^2+A'(t)]f(t)$. Ahora el coeficiente de $A(t)^2$ es asintóticamente pequeño, pero $A'(t)$ no tiene que ser. E incluso si lo fuera, no sé cómo utilizar Grönwall para un segundo orden de la educación a distancia. Si $A$ fue constante, podría utilizar nilpotency para obtener $f(t)=e^{At}f(0)=(I+At)f(0)$. Hay una expansión de la serie también por el tiempo-dependiente de la $A$ (el de la serie de Dyson), pero yo no podía ver cómo convertir eso en una rigurosa estimación. No asumo que $A(t)$ es nilpotent para cualquier $t$, solo que a algunos el poder tiende a cero, como se $t\to\infty$.

Pregunta: Dado algunos supuestos sobre la tasa de descomposición de $A(t)^2$ (o $A(t)^k$ algunos $k>2$), ¿qué herramientas puedo utilizar para probar una estimación de crecimiento de la norma de la solución de $f(t)$? Estoy buscando una estimación que podía jugar con el para ver lo diferentes que las tasas de descomposición de $A^2$ dar diferentes tasas de crecimiento para $f$.

Editar: Si denotamos $B(t)=A(t)+\phi(t)I$ para algunos escalares función de $\phi$$g(t)=\exp\left(\int_0^t\phi(s)ds\right)f(t)$,$g'(t)=B(t)g(t)$. Uno podría tratar de obtener estimaciones para $g$ y convertir a las estimaciones de los $f$, pero a mí me parece que este método no se puede agregar mucho. (El exponenciales de las integrales provenientes de este cambio de funciones y Grönwall la estimación de cancelar el uno al otro.) Esta es una generalización de una idea Humana Normal dio en un comentario más abajo ($\phi$ fue constante).

Answer 1

Hay un papel por P. Hartman y A. Wintner Asintótica Integraciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales, lo que demuestra que si $y$ satisface la ecuación diferencial $$ y'(t) = (J + G(t))y(t), $$ donde $J$ $n\times n$ matriz de números complejos con autovalores $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, e $G(t)$ es una matriz de complejo continuo de las funciones con valores en $t\geq 0$ tal que $|G(t)|\to0$$t\to\infty$, entonces no existe $n$ soluciones linealmente independientes $y_1,\ldots,y_n$, la satisfacción de los asintótica obligado $$ \log\|y_j(t)\| = (\Re\lambda_j)t + o(t), \qquad t\to\infty. $$

En su caso, la creación de $J = \lim_{t\to\infty}A(t)$, $G(t)=A(t)-J$, el resultado es que el $\|y(t)\| = e^{o(t)}$, debido a que todos los autovalores de la nilpotent matriz $J$ son cero. También dicen que, en el caso de todos los $\Re\lambda_j$ son idénticas, es suficiente con que $$ \frac{1}{T}\int_0^T G(t)\,dt\to0. $$

Dicen que este resultado fue originalmente demostrado por O. Perron en Über la estabilidad de la diversidad und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen.

Respecto polinomio límites, dicen que cuando $$ \int_0^\infty t^{2(n-1)}\|G(t)\|\,dt < \infty $$ hay una solución a $y(t)$ de la totalidad de ODE $y'=Ay$ para cada solución $y_0(t)$ de la imperturbable ODE $y_0'=Jy_0$, satisfactorio (para un nilpotent $J$) $$ y(t) - y_0(t) = o(1), $$ que cubre su ejemplo.

Tal vez algunos más modernos libros de texto en las Odas (esp. teoría de la perturbación, la estabilidad estructural) tendría más claras exposiciones - el papel es de alrededor de 40 páginas, y yo no comprobar los detalles, sólo el teorema de declaraciones.