Si no exigimos la continuidad en $a$ la respuesta es un "no" fácil. La respuesta sigue siendo "no" si exigimos continuidad, pero no tan fácilmente.
Si observamos la función $g\colon (0,1) \to \mathbb{R}$ ,
$$g(x) = (-1)^n\quad\text{ if } \frac{1}{(n+1)!} \leqslant x < \frac{1}{n!},$$
y considerar
$$f(x) = \int_0^x g(t)\,dt,$$
tenemos un casi-ejemplo: Para $a_k = \frac{1}{k!}$ tenemos
\begin{align} \frac{f(a_{2k})-f(0)}{a_{2k}} &= (2k)!\int_0^{1/(2k)!} g(t)\,dt\\ &= (2k)!\biggl(\frac{1}{(2k)!} - \frac{1}{(2k+1)!}\biggr) + (2k)!\int_0^{1/(2k+1)!} g(t)\,dt\\ &= \frac{2k}{2k+1} + O\biggl(\frac{1}{2k+1}\biggr) \end{align}
y
\begin{align} \frac{f(a_{2k+1}) - f(0)}{a_{2k+1}} &= (2k+1)!\int_0^{1/(2k+1)!}g(t)\,dt\\ &= -(2k+1)!\biggl(\frac{1}{(2k+1)!}-\frac{1}{(2k+2)!}\biggr) + (2k+1)!\int_0^{1/(2k+2)!} g(t)\,dt\\ &= -\frac{2k+1}{2k+2} + O\biggl(\frac{1}{2k+2}\biggr), \end{align}
por lo que los cocientes de diferencia $\frac{f(x)-f(0)}{x}$ varían de muy cerca a $1$ a muy cerca de $-1$ y cuando $x$ atraviesa el intervalo $[a_{2k+2},a_{2k}]$ y el conjunto de todos los puntos límite de los cocientes de diferencias para las secuencias $x_k \searrow 0$ es el intervalo $[-1,1]$ .
El $f$ considerado anteriormente es sólo un casi-ejemplo, ya que $f$ no es diferenciable en todo el intervalo $(0,1)$ hay un número contable de puntos en los que $f$ no es diferenciable.
Podemos convertirlo en un ejemplo real si modificamos $g$ para interpolar linealmente en lugar de saltar en los puntos $a_k$ si elegimos una pendiente suficientemente pronunciada para la interpolación lineal. Entonces la modificación $\tilde{g}$ es continua, y su integral $\tilde{f}$ es diferenciable en $(0,1)$ pero no es diferenciable por la derecha en $0$ .
