La prueba de un teorema de Cauchy en la convergencia de un producto infinito

Question

Bien es relativamente bien conocido que la condición para la convergencia absoluta está dada por el siguiente teorema: para que el infinito producto $\prod _{n=1}^{\infty }\left( 1+a_{n}\right) $ puede ser absolutamente convergente, es necesario y suficiente que la serie $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ debe ser absolutamente convergente.

Estoy tratando de probar un poco menos famoso resultado de Cauchy, que indica Si $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ser un condicionalmente convergente la serie de términos reales, a continuación, $\prod _{n=1}^{\infty }\left( 1+a_{n}\right) $ converge (pero no completamente) o diverge a cero de acuerdo como $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{2}$ converge o diverge.

Algunos pensamientos hacia la Prueba A pesar de que podría eb mal aquí, pero ya no sabemos que $a_{n}\rightarrow 0$ según las circunstancias del caso supongo que una prueba de comparación de a $\sum _{k=0}^{\infty }\dfrac {1} {k^{2}}$ o que se requiere el ln de la serie tipo de parece caerse a pedazos. Tenía la esperanza de que alguna de ellas podría proporcionar una idea o estrategia para esta prueba.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Podemos suponer $\displaystyle a_n \neq 0$.

Definir $\displaystyle b_n$ como sigue

$$ b_n = \frac{\log(1+a_n) - a_n}{a_n^2}$$

Observe que $\displaystyle b_n \lt 0$ todos los $n$.

Así

$$\sum_{k=1}^{n} a_k^2b_k - \sum_{k=1}^{n} \log(1+a_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k$$

El uso de la expansión de Taylor de $\displaystyle \log (1+x)$, (tenga en cuenta que $\displaystyle a_n \to 0$), podemos ver que $\displaystyle b_n \to \frac{-1}{2}$.

Ahora, es bien sabido que si $\displaystyle \sum x_n$ converge absolutamente y $\displaystyle y_n$ es acotado, entonces $\displaystyle \sum x_n y_n$ converge.

Así

Si $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k^2 $ converge, también lo $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k^2 b_k$, y como consecuencia, también lo hace $\displaystyle \sum \log (1+a_k)$$\displaystyle \prod (1+a_k)$.

Si $\displaystyle \prod(1+a_n)$ converge, entonces también lo hace $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \log(1+a_k)$, y por lo $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k^2 b_k$ converge. Desde $\displaystyle b_k \lt 0$, esta convergencia es absoluta y por lo tanto la secuencia $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_n^2 b_k \times \frac{1}{b_k} = \sum_{k=1}^{n} a_k^2$ converge, como la secuencia de $\displaystyle \frac{1}{b_n}$ está acotada.