Mínimo de $\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}$

Question

¿Cuál es el mínimo de $$f(a,b,c):=\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}$$ where $a,b,c$ son números reales positivos?

Al$a=b=c$, $f(a,b,c)=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\approx 2.12$

Al$a=1,b=c\rightarrow\infty$,$f(a,b,c)\rightarrow 2$. Así que el mínimo es en la mayoría de las $2$.

Answer 1

Siguiente mookid de la pista, también podemos evitar el uso de los multiplicadores de Lagrange. Normalizar de manera que $a+b+c=1$, y, a continuación, utilizar la desigualdad de $\sqrt{\dfrac{a}{1-a}}\geq 2a$. Esto es equivalente a $a(2a-1)^2\geq 0$.

Por lo tanto $f(a,b,c)\geq 2(a+b+c)=2$. La igualdad no puede mantener, ya que $a=b=c=\dfrac{1}{2}$ no satisface $a+b+c=1$. Pero $f(a,b,c)$ puede arbitraria acercarse a $2$, como en el ejemplo de la pregunta original de la muestra.

Answer 2

Sugerencia: este es también $$ \min_{a,b,c\ge 0, a+b+c=1} \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c,+}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} =\min_{a,b,c\ge 0, a+b+c=1} \sqrt{\dfrac{a}{1}}+\sqrt{\dfrac{b}{1-b}}+\sqrt{\dfrac{c}{1-c}} $$Y, a continuación, usted puede, por ejemplo, el uso de los multiplicadores de Lagrange.