¿Por qué una teoría es invariante de Lorentz si el Lagrangiano es invariante de Lorentz?

Question

Porque si hubiera empezado por intentar hacer invariante el hamiltoniano de Lorentz, habría fracasado. Efectivamente, el hamiltoniano es parte de un tensor covariante. Pero, ¿cómo sé que el lagrangiano no forma parte de dicho tensor?

Todas las formulaciones lagrangianas, hamiltonianas y de corchetes de Poisson implican alguna derivada parcial con respecto al tiempo en algún punto. Ninguna de ellas es manifiestamente invariante de Lorentz.

Sabíamos que el sistema gobernado por la ecuación de Klein-Gordon es invariante de Lorentz, pero ¿podría construir una lagrangiana no invariante de Lorentz y derivar una ecuación de movimiento invariante de Lorentz a partir de ella?

Answer 1

Ir por el camino indicado en el título de la pregunta es fácil: La condición de Euler-Lagrange es, intrínsecamente, una condición sobre la acción -- la afirmación es que el camino clásico es el camino para el que la acción toma un valor mínimo para el camino. Como se trata de una afirmación sobre el valor de la acción, y la acción es invariante de Lorentz, este valor mínimo no se ve modificado por una transformación de Lorentz. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento tienen que ser covariantes de Lorentz. Nada de esto es automáticamente cierto en un formalismo hamiltoniano, donde estás haciendo explícitamente una transformación de Legendre que involucra al tiempo, y arruinando la invariancia Lorentz manifiesta de la teoría.

La pregunta que planteas en tu conclusión es más difícil: dada una ecuación de movimiento invariante de Lorentz, ¿es posible construir un lagrangiano no invariante de Lorentz? La respuesta trivial es "sí, se pueden añadir términos de frontera no invariantes de Lorentz". Pero no sé el caso menos trivial.