Multiplicativa Euclidiana Función de un Dominio Euclídeo

Question

¿Existe un dominio Euclídeo sin multiplicativo Euclidiana función?

Un dominio Euclídeo, denotado $R$, es una parte integral de dominio

con Euclidiana función de $d : R\setminus \{0\} \to \mathbb{N}$ tal que

$1)\quad d(a) \leq d(ab)$, y

$2)\quad a = bq + r$ con $r = 0$ o $d(r) < d(b)$.

Estoy interesado en multiplicativo Euclidiana funciones. Es decir, $d(ab) = d(a)d(b)$.

Por ejemplo, uno puede elegir

$\mathbb{Z}$ $d(n) = |n|, \quad \mathbb{Z}[i]$ $d(\alpha) = N(\alpha), \quad F[X]$ $d(f) = 2^{\deg(f)}$ para un campo $F$,

o, una especie de estúpido ejemplo, cualquier campo de $F$$d(a) = 1$.

Soy nuevo aquí. Gracias de antemano.

Answer 1

Hay varias definiciones en uso para Euclidiana dominios. Generalmente requiere sólo la condición (2) en función de la distancia Euclídea, y Euclídea funciones de la satisfacción de la condición adicional de (1) se llama submultiplicative. Pero, de hecho, no es la generalidad se pierde por el supuesto (1), ya que se puede demostrar que cada Euclidiana dominio admite un submultiplicative Euclidiana función, a saber. el mínimo de la función

$$ d_{\min}(a) = \min\, \{d(a)\ :\ d\ \text{ is a Euclidean function on}\ R\}$$

Sin embargo, actualmente se desconoce si se pierde generalidad mediante la sustitución de "submultiplicative" por la "multiplicación", es decir, no se sabe si todos los Euclidiana dominio admite un multiplicativo Euclidiana de la función (por ejemplo, véase el comentario siguiente Proposición 2.2 en Franz Lemmermeyer excelente encuesta El algoritmo de Euclides algebraica número de campos).