No medible subconjunto de $\omega_1$

Question

Considere la posibilidad de $\omega_1$ equipada con el fin de topología. Entonces los subconjuntos de Borel $\omega_1$ son precisamente aquellos que contienen un cerrado y conjunto ilimitado o el complemento contiene un conjunto. Debe haber (en ZFC) establece que carecen de esta propiedad, ya que de lo contrario $\omega_1$ sería medible. Puede alguien por favor decirme cómo "construir" este tipo de series (el uso de algún tipo de elección, por supuesto).

Answer 1

Un conjunto $S\subseteq\omega_1$ es estacionaria si no tiene intersección vacía con cada cachorro, de manera que es suficiente para construir dos distintos conjuntos estacionarios: ni puede contener o ser distinto de cualquier cub conjunto. De hecho este post de Andres Caicedo blog muestra cómo construir $\omega_1$ pares distintos estacionaria subconjuntos de a $\omega_1$.

Usted también puede encontrar las dos referencias en Joel David Hamkins la respuesta a esta MathOverflow pregunta útil.

Answer 2

Se requiere el axioma de elección, pero hay conjuntos que son fijos y co-estacionario. Es decir, que no contienen un club no son distintos de uno.

Por ejemplo, el uso de Solovay del teorema podemos partición $\omega_1$ a $\omega_1$ distintos conjuntos estacionarios.

En algunos modelos donde el axioma de elección si falla cada subconjunto de $\omega_1$ contiene un club o es distinto de uno.