Por qué uniforme de cierre de $\mathscr{B}$ de un álgebra $\mathscr{A}$ de los delimitadas las funciones complejas es uniformemente cerrado?

Question

Deje $\mathscr{A}$ ser un álgebra de delimitadas las funciones complejas. (O, si es necesario, continua y dominio de las funciones es compacto)

Definición:

$\mathscr{B}$ es uniformemente cerrado iff $f\in\mathscr{B}$ siempre $f_n\in \mathscr{B} (n=1,2,\cdot)$ $f_n\rightarrow f$ uniformemente.

$\mathscr{B}$ es el uniforme de cierre de $\mathscr{A}$ fib $\mathscr{B}$ es el conjunto de todas las funciones que se limita de manera uniforme secuencias convergentes de los miembros de $\mathscr{A}$.

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Deje $\mathscr{B}$ ser un uniforme de cierre de $\mathscr{A}$.

¿Cómo puedo probar que $\mathscr{B}$ es uniformemente cerrado en ZF?

¿Stone-Weierstrass teorema requieren de elección ya que es fundamental para demostrar Stone-Weierstrass Teorema?

Answer 1

Me gustaría responder a la primera pregunta.

Teorema: Vamos a $\mathscr{B}$ ser un uniforme de cierre de $\mathscr{A}$. (Donde $\mathscr{A}$ - álgebra consiste delimitadas las funciones). A continuación, $\mathscr{B}$ - uniformemente cerrado álgebra.

Prueba: Si $f\in\mathscr{B}$$g\in\mathscr{B}$, entonces no están uniformemente convergente secuencias de $f_n\in\mathscr{A}$ $g_n\in\mathscr{A}$ tal que $f_n\to f$$g_n\to g$. Dado que las funciones son limitadas, podemos escribir: $$f_n+g_n\to f+g$$ $$f_ng_n\to fg$$ $$cg_n\to cg$$ Donde $c$ es constante desde el campo.

Así $f+g\in\mathscr{B} $,$fg\in\mathscr{B} $,$cg\in\mathscr{B}$. Por lo $\mathscr{B}$ es el álgebra.

Deje $f_n$ es uniformemente convergente de la secuencia de elementos de $\mathscr{B}$. Hay funciones de $g_n$ tal que $|f_n(x)-g_n(x)|<\frac{1}{n}$. Si $f_n\to f$, entonces es claro que $g_n\to f$, por lo que (por la definición de $\mathscr{B} $) $f\in\mathscr{B}$, por lo $\mathscr{B} $ es uniformemente cerrado.

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Answer 2

Creo que el $\mathscr{B}$ es el uniforme de cierre de $\mathscr{A}$, para cualquier $x$, $\mathscr{B}$ es el uniforme de cierre de $\mathscr{A}$.

Recordar que el cierre de la $\overline{E}$ del conjunto de $E$ es cerrado. Aquí, $f_n(x) \rightarrow f(x)$ cualquier $x$ es holded. Por lo $\mathscr{B}$ es uniforme cerrado.