¿Todos los polinomios quínticos de este tipo no son resolubles por radicales?

Question

El autor de mi libro de texto argumenta que el polinomio quíntico $3x^5-15x+5$ no es solucionable por radicales sobre $\mathbb{Q}$ demostrando que el grupo de Galois de $3x^5-15x+5$ en $\mathbb{Q}$ es isomorfo a $S_{5}$ (que no tiene solución).

Pero el argumento dado se aplicaría aparentemente a cualquier polinomio quíntico con coeficientes enteros que sea irreducible sobre $\mathbb{Q}$ y tiene 3 raíces reales distintas y 2 raíces complejas no reales.

¿Todos los polinomios quínticos de este tipo no son resolubles por radicales?

Answer 1

Sí, si $f$ es irreducible, entonces $5\mid [K:\mathbb{Q}]$ donde $K$ es el campo de división de $f$ . Por lo tanto, el grupo de Galois $G$ de $f$ contiene un 5-ciclo. Además, si sólo tiene dos raíces no reales, entonces $G$ también contiene una transposición.

El resultado se deduce ahora del hecho de que si $G<S_p$ (donde $p$ es primo) es un subgrupo que contiene un $p$ -y una transposición, entonces $G=S_p$ .

Por lo tanto, no sólo no se puede resolver dicho polinomio, sino que su grupo de Galois es $S_5$ .