Yo que nos han dado un espacio vectorial $(V,+,\cdot)$ sobre un campo $\mathbb K$ (donde $\mathbb K=\mathbb R$ o $\mathbb K=\mathbb C$), es la mejor topología $\mathcal T$, de tal manera que $(V,\mathcal T)$ es un espacio vectorial topológico?
Voy a explicar a continuación lo que he intentado. Esta parece una pregunta muy natural para mí, así que supongo que la respuesta (si es afirmativo o negativo) debe ser bien conocido, al menos para algunos expertos locales en espacios vectoriales topológicos.
Primero supongo que sería la topología discreta, pero discreto topología de no dar un espacio vectorial topológico. De hecho, si $\cdot \colon \mathbb K\times V\to V$ es continuo, a continuación, para cada uno de ellos fijo $v\in V$ el mapa de $\alpha \mapsto \alpha\cdot v$ $\mathbb K$ $V$debe ser continua. Desde que el mapa es inyectiva de a $v\ne0$, esto implicaría que $\mathbb K$ ha topología discreta.
Tal vez se podría obtener una topología tal que los mapas $\alpha \mapsto \alpha\cdot u$, $v \mapsto \beta\cdot v$, $v\mapsto v+u$ son continuas para cada una de las $u\in V$ $\beta\in\mathbb K$ por iterativamente tomar la topología inicial w.r.t. estos mapas, a partir de la topología discreta en $V$ y la topología usual en $\mathbb K$ y la iteración de este proceso. Pero incluso si esto funcionaba, nos gustaría obtener sólo la continuidad de las $\cdot \colon \mathbb K\times V\to V$, y queremos que este mapa de forma conjunta continua.
Mientras busca la respuesta a mi pregunta, me enteré de la existencia de mejores localmente convexo topología (Google Libros), que se menciona, por ejemplo en esta pregunta o esta pregunta. Esto es diferente de lo que yo estoy pidiendo aquí.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Yo diría que hay un mejor espacio vectorial de topología. Sin embargo, mi argumento puede ser completamente equivocado...
Deje $(\tau_i)_{i\in I}$ ser parte de la familia de todos los vectores del espacio de topologías en $V$. Llame a un conjunto de $\mathcal E\subset V$ $elementary$ si puede ser escrito como $\mathcal E=\mathcal U_{i_1}\cap \cdots \cap \mathcal U_{i_N}$ donde $\mathcal U_{i_k}\in\tau_{i_k}$. Por último, vamos a $\tau$ ser parte de la familia de todos los subconjuntos de a $V$ que son los sindicatos de primaria conjuntos.
Desde que la familia de la primaria conjuntos contiene $\emptyset$ $V$ y es estable bajo intersecciones finitas, es bastante claro que $\tau$ es una topología en $V$. Obviamente, $\tau$ es más fino que el de todos los $\tau_i$; por lo que sigue siendo para comprobar que $\tau$ es un espacio vectorial de topología.
Tome $x,x'\in V$ y deje $\mathcal W$ $\tau$- barrio de $x+x'$. Elegir un conjunto de primaria $\mathcal E=\mathcal U_{i_1}\cap \cdots \cap \mathcal U_{i_N}$ tal que $x+x'\in \mathcal E\subset\mathcal W$. Desde cada una de las $\tau_{i_k}$ es un espacio vectorial de topología, se puede optar $\mathcal V_k, \mathcal V'_k\in\tau_k$ tal que $x\in\mathcal V_k$, $x'\in\mathcal V'_k$ y $\mathcal V_k+\mathcal V'_k\subset \mathcal U_{i_k}$. A continuación, $\mathcal V=\bigcap_k \mathcal V_k$ $\mathcal V'=\bigcap_k\mathcal V'_k$ $\tau$- barrios de $x$ $x'$ tal que $\mathcal V+\mathcal V'\subset\mathcal E\subset \mathcal W$. Esto muestra que la adición conjunta continua en $(V,\tau)\times (V,\tau)$.
La continuidad de la multiplicación escalar se puede comprobar en la misma forma.
Por favor, hágamelo saber si esto parece correcto!
