Una entropía de la función Wigner

Question

¿Existe una entropía que se pueda utilizar para la distribución de cuasi-probabilidad de Wigner? (En el sentido de una distribución de probabilidad en el espacio de fase, no - sólo la entropía de von Neumann).

No se puede utilizar simplemente $\int - W(q,p) \ln\left[ W(q,p) \right] dq dp$ ya que la función de Wigner no está definida positivamente.

La motivación de la pregunta es la siguiente:

Un trabajo I. Biaynicki-Birula, J. Mycielski, Relaciones de incertidumbre para la entropía de la información en la mecánica ondulatoria (Comm. Math. Phys. 1975) (o aquí ) contiene una derivación de un principio de incertidumbre basado en una entropía de la información: $$-\int |\psi(q)|^2 \ln\left[|\psi(q)|^2\right]dq-\int |\tilde{\psi}(p)|^2 \ln\left[|\tilde{\psi}(p)|^2\right]dp\geq1+\ln\pi.$$ Una de las consecuencias de la relación anterior es el principio de incertidumbre de Heisenberg. Sin embargo, la versión entrópica funciona también en entornos más generales (por ejemplo, un anillo y la relación de incertidumbre posición- momento angular).

Como $|\psi(q)|^2=\int W(q,p)dp$ y $|\tilde{\psi}(p)|^2=\int W(q,p)dq$ y en el caso separable (es decir, una función de onda gaussiana) la función de Winger es sólo un producto de las probabilidades en posición y en momento, es tentador buscar un funcional tipo entropía que cumpla la siguiente relación: $$1+\ln\pi\leq\text{some_entropy}\left[ W\right]\leq -\int |\psi(q)|^2 \ln\left[|\psi(q)|^2\right]dq-\int |\tilde{\psi}(p)|^2 \ln\left[|\tilde{\psi}(p)|^2\right]dp.$$

Answer 1

Entre otras cosas, la entropía de la que hablan Białynicki-Birula y Mycielski parece ser lo que Wehrl podría denominar entropía clásica . Al considerar esta cuestión con más detenimiento, he encontrado dos posibles candidatos a su pregunta. Mencionaré uno ahora y el otro después. El primero está probablemente en línea con lo mencionado por Grant Teply, y probablemente corresponde a un entropía conjunta . Utilizaré el formalismo más general del operador de densidad, señalando que cuando el operador de densidad $ \hat \rho $ representa un estado puro, entonces $ \langle q \lvert \hat \rho \rvert q \rangle = \lvert \psi (q) \rvert^2 $ y $ \langle p \lvert \hat \rho \rvert p \rangle = \lvert \tilde \psi (p) \rvert^2 $ . Se llegó a ella al considerar la desigualdad de Cauchy-Schwarz,

$$ \lvert \langle q \lvert \hat \rho \rvert p \rangle \rvert^2 = \langle q \lvert \hat \rho \rvert p \rangle \langle p \lvert \hat \rho \rvert q \rangle \le \langle q \lvert \hat \rho \rvert q \rangle \langle p \lvert \hat \rho \rvert p \rangle , $$

donde

$$ \langle q \lvert \hat \rho \rvert p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int \langle q \lvert \hat \rho \rvert q' \rangle \exp \left ( \frac{i p q'}{\hbar} \right ) dq' = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int \langle p' \lvert \hat \rho \rvert p \rangle \exp \left ( \frac{i p' q}{\hbar} \right ) dp'. $$

Conjeturo que con la función cóncava

$$ f(x) = -x \ln x , $$

obtenemos la desigualdad

$$ f ( \lvert \langle q \lvert \hat \rho \rvert p \rangle \rvert^2 ) \le f( \langle q \lvert \hat \rho \rvert q \rangle \langle p \lvert \hat \rho \rvert p \rangle ) = \langle p \lvert \hat \rho \rvert p \rangle f ( \langle q \lvert \hat \rho \rvert q \rangle ) + \langle q \lvert \hat \rho \rvert q \rangle f ( \langle p \lvert \hat \rho \rvert p \rangle ) . $$

Si esta desigualdad se mantiene, entonces integrando sobre el espacio de fase, tenemos la propiedad de subaditividad para la entropía

$$ S_{qp} \le S_q + S_p , $$

donde

$$ S_{qp} = \int \int f ( \lvert \langle q \lvert \hat \rho \rvert p \rangle \rvert^2 ) dq dp = S_{pq} , $$

$$ S_q = \int \int \langle p \lvert \hat \rho \rvert p \rangle f ( \langle q \lvert \hat \rho \rvert q \rangle ) dq dp = \int f ( \langle q \lvert \hat \rho \rvert q \rangle ) dq , $$

$$ S_p = \int \int \langle q \lvert \hat \rho \rvert q \rangle f ( \langle p \lvert \hat \rho \rvert p \rangle ) dq dp = \int f ( \langle p \lvert \hat \rho \rvert p \rangle ) dp . $$

La igualdad se mantiene cuando $ \hat \rho $ representa un estado puro, o un sistema separable en posición $ q $ y el impulso $ p $ . En otras palabras, si $ S_{qp} $ puede interpretarse efectivamente como una entropía conjunta, representa la correlación entre la posición y el momento. La desigualdad estricta vendrá de los sistemas representados por estados mixtos, y por lo tanto cuando el sistema no puede ser representado por una solución de la ecuación de Schrödinger, que tradicionalmente no incluye términos cruzados entre posición y momento.

Answer 2

En cuanto al primer candidato que propuse, $\lvert \langle q \vert \hat \rho \rvert p \rangle \rvert^2$ tiene las propiedades

$$ \int \lvert \langle q \vert \hat \rho \rvert p \rangle \rvert^2 dp = \langle q \lvert \hat \rho^2 \rvert q \rangle , \quad \int \lvert \langle q \vert \hat \rho \rvert p \rangle \rvert^2 dp = \langle p \lvert \hat \rho^2 \rvert p \rangle , \\ \iint \lvert \langle q \vert \hat \rho \rvert p \rangle \rvert^2 dq dp = \mathrm{Tr}(\hat \rho^2) \le 1 , $$

que puede invalidar la conjetura que la acompañaba.

Un atractivo para encontrar un análogo de la entropía clásica con la distribución de Wigner proviene de las propiedades

$$ \int W(q,p) dp = \langle q \lvert \hat \rho \rvert q \rangle , \quad \int W(q,p) dq = \langle p \lvert \hat \rho \rvert p \rangle , \\ \iint W(q,p) dq dp = \mathrm{Tr}(\hat \rho) = 1 .$$

Creo que una pregunta relacionada con la primera es si existe una distribución de densidad conjunta $R(q,p)$ con densidades marginales $Q(q)$ y $P(p)$ tal que

$$ \int R(q,p) dp = \langle q \lvert \hat \rho \rvert q \rangle = Q(q) , \quad \int R(q,p) dq = \langle p \lvert \hat \rho \rvert p \rangle = P(p) , \\ \iint R(q,p) dq dp = \mathrm{Tr}(\hat \rho) = 1 , $$ y como tal con $f(x) = - x \ln x$ también satisface la propiedad de subaditividad de la entropía ,

$$ S_{qp} \le S_q + S_p , $$

donde

$$ S_q = \int f(Q(q)) dq , \quad S_p = \int f(P(p)) dp , \\ S_{qp} = \iint f(R(q,p)) dq dp = S_{pq} . $$

En estas condiciones, propongo otro candidato

$$ R(q,p) = \lvert \langle q \vert \sqrt{\hat \rho} \rvert p \rangle \rvert^2 = \lvert \langle p \vert \sqrt{\hat \rho} \rvert q \rangle \rvert^2 \ge 0 . $$

En cuanto a lo que se entiende por $\sqrt{\hat \rho}$ Considere la posibilidad de representar $\hat \rho$ diagonalmente en su base propia discreta $\{ \rvert \lambda_m \rangle \}_{m \in \mathbb{N}}$ (si lo tiene),

$$ \hat \rho = \sum_m \lambda_m \rvert \lambda_m \rangle \langle \lambda_m \lvert . $$

Dado que $\hat \rho^\dagger = \hat \rho, \; \mathrm{Tr}(\hat \rho) = 1,$ y $\langle \lambda_m \lvert \hat \rho \rvert \lambda_m \rangle \ge 0 \; \forall \; \lambda_m$ entonces $0 \le \lambda_m \le 1 \; \forall \; \lambda_m$ . Para una base propia ortonormal tenemos, $\forall \: \lambda_m$ ,

$$ \hat \rho^2 = \sum_m \lambda_m^2 \rvert \lambda_m \rangle \langle \lambda_m \lvert , \quad 0 \le \lambda_m^2 \le \lambda_m \le 1 , $$

y de manera similar

$$ \sqrt{\hat \rho} \equiv \sum_m \sqrt{\lambda_m} \rvert \lambda_m \rangle \langle \lambda_m \lvert , \quad 0 \le \lambda_m \le \sqrt{\lambda_m} \le 1 . $$

Elegimos $\sqrt{\hat \rho}$ sea semidefinido positivo porque si $\hat \rho = \sqrt{\hat \rho}$ entonces $\sqrt{\hat \rho}$ puede utilizarse para representar un estado puro $\left ( \lambda_m = \delta_{mn} , \; n \in \mathbb{N} \right)$ . De ello se desprenden las propiedades

$$ \sqrt{\hat \rho}^\dagger = \sqrt{\hat \rho}, \quad \sqrt{\hat \rho} \sqrt{\hat \rho} = \left ( \sqrt{\hat \rho} \right )^2 = \hat \rho , \\ \mathrm{Tr}(\hat\rho^2) \le \mathrm{Tr}(\hat\rho) = 1 \le \mathrm{Tr}(\sqrt{\hat\rho}). $$

En base finita de dimensión $N$ la desigualdad anterior para a estado totalmente (o completamente) mixto $\left ( \lambda_m = 1/N \; \forall \; \lambda_m \right )$ lee

$$ 1/N \le 1 \le \sqrt N . $$

Un ejemplo de aplicación del operador $\sqrt{\hat \rho}$ es con fidelidad . Esta aclaración se hizo para comparar con otros travaux .

Algunas comparaciones con el primer candidato que propuse. A partir de la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos

$$ \begin{align*} R(q,p) & \le \langle q \lvert \sqrt{\hat \rho} \rvert q \rangle \langle p \lvert \sqrt{\hat \rho} \rvert p \rangle , \\ {} & \le \langle q \lvert \sqrt{\hat \rho} \sqrt{\hat \rho} \rvert q \rangle \langle p \vert p \rangle = Q(q) \delta(0) = \infty , \\ {} & \le \langle q \vert q \rangle \langle p \lvert \sqrt{\hat \rho} \sqrt{\hat \rho} \rvert p \rangle = \delta(0) P(p) = \infty , \\ {} & \le \langle q \lvert \hat \rho^{1-\varepsilon} \rvert q \rangle \langle p \lvert \hat \rho^\varepsilon \rvert p \rangle , \quad 0 \le \varepsilon \le 1 . \end{align*} $$

Los términos $\hat \rho^{1-\varepsilon}$ y $\hat \rho^\varepsilon$ en la última desigualdad se determinan utilizando funciones de la matriz lo que también justifica nuestra elección en $\sqrt{\hat \rho}$ .

Una forma de expresar $R(q,p)$ debe ser

$$ \begin{align*} R(q,p) & = \frac{1}{2 \pi \hbar} \iint \langle q \vert \sqrt{\hat \rho} \rvert q_1 \rangle \langle q_2 \vert \sqrt{\hat \rho} \rvert q \rangle \exp \left (\frac{i p (q_1-q_2)}{\hbar} \right ) dq_1 dq_2 & \\ {} & = \frac{1}{2 \pi \hbar} \iint \langle p_1 \vert \sqrt{\hat \rho} \rvert p \rangle \langle p \vert \sqrt{\hat \rho} \rvert p_2 \rangle \exp \left (\frac{i (p_1 - p_2) q}{\hbar} \right ) dp_1 dp_2 . & \end{align*} $$