Ejemplo de un complejo trascendental número?

Question

La investigación trascendental números sólo he topado con un trascendental parte real. Yo no puedo pensar en ninguna que son imaginarios puros o no se basan en un verdadero transendental número, t, de la forma $t + ni$. Alguna idea?

Edit: Después de algunos excelentes respuestas, ahora tengo otro pensamiento vea Complejo trascendentales no se conoce en forma de componentes?

Answer 1

Tenemos $a + bi$ es algebraicas iff $a$ $b$ son algebraicas.

Por lo tanto, si $a + bi$ es trascendental, entonces al menos uno de $a$ o $b$ es trascendental.

Así, todo el complejo trascendental números son "basado" en la real trascendental números.

Answer 2

Real trascendental número: $\pi$, $e$, $\ldots$
Imaginario trascendental número: $i\pi$, $ie$, $ie^\pi$ , $i\pi^e (\text{suspected to be true but not yet proved})$ $\ldots$
Número complejo con el trascendental partes real e imaginaria: $\pi+i\pi$, $e+i\pi$, $\pi+ie$, $e+ie$, $\ldots$

Por otra parte, una puramente imaginario trascendental número puede ser $\ln(-1)$, a raíz de la ecuación de $e^{i\pi}=-1$ y en cuyo caso, tenemos que extender el dominio de definición y, por tanto, el rango del logaritmo natural.

Answer 3

Siempre he estado intrigado por $$i^i=e^{-π/2}$$ (al menos su valor principal) y se le nota que $$i^{i^i}=e^{(iπ/2) e^{-π/2}}$$ no caer en la fácil categoría de $a+ib$ donde $a$ $b$ son bien conocidos trascendental números.