Lo fundamental es la probabilística de la interpretación Cuántica de Campos?

Question

En la mecánica cuántica, las partículas son descritos por funciones de onda que describen la probabilidad de amplitudes. En la teoría del campo cuántico, las partículas son descritos por las excitaciones de campos cuánticos. ¿Qué es el análogo de la mecánica cuántica de la función de onda? Es un espectro de configuraciones del campo (en analogía con QM funciones de onda de espectro de partículas observables), donde cada campo de configuración puede estar asociada con una probabilidad de amplitud? O es el campo esencialmente una superposición de un número infinito de funciones de onda para cada punto a lo largo del campo (como si cuantificada un continuo colchón de infinitesimales junto partículas)?

Answer 1

(Lubos acaba de publicar una respuesta, pero creo que esto es lo suficientemente ortogonal post también). La habitual función de onda para un bosonic campo es un número complejo para cada configuración del campo en todos los puntos del espacio:

$$\Psi(\phi(x))$$

Este wavefuntion(al) que obedece a la ecuación de Schrödinger con el campo de Hamilton, donde el campo impulso es un variacional operador de la derivada de actuar en $\Psi$. Esta formulación está bien en principio, pero no es útil para trabajar con este objeto directamente en circunstancias normales, por las siguientes razones:

• Usted necesita para regular la teoría de campo para este wavefunctional para hacer sentido matemático. Si intenta configurar la teoría en el continuum desde el principio, para especificar una función de onda en cada campo de configuración que necesita para trabajar tan duro como para hacer una definición rigurosa de la teoría de campo. Por ejemplo, sólo para normalizar la función de onda sobre todo constante segmento de tiempo de los valores de campo, usted necesita para hacer una ruta integral sobre todo la constante de tiempo configuraciones del campo. Esta es una ruta integral en una dimensión menos, pero la cosa va a integrar, ya no es más una acción local, así que no hay ganancia en la simplicidad. Incluso después de normalizar, la expectativa de valor de los operadores en el wavefunctional es una teoría de campo de problema en sí mismo, en una dimensión menor, pero con un no locales de acción.
• Una vez que se regulan en una celosía, el campo wavefunctional es un simple función de onda de todos los valores de campo en todas las posiciones. Pero incluso cuando se coloca en un volumen infinito de celosía, un típico wavefunctional en volumen infinito tendrá un divergentes de energía, debido a que usted tendrá una cierta densidad de la energía en cada punto cuando el wavefuntional no es el vacío, de un número finito de densidad de energía. Infinitas configuraciones de energía de la teoría del campo, aquellos con un número finito de densidad de energía, son muy complicados, ya que no se descomponen en partículas libres en asintótica veces, pero mantener la anulación de los de siempre.
• Las ecuaciones de movimiento para la wavefuntional no son particularmente iluminadora, y no tienen el manifiesto de la simetría de Lorentz, porque usted eligió un time-slice para definir la función de onda correspondiente.

Estos problemas son superados por el trabajo con la ruta integral. En el camino de la integral, si se insiste en que desea que el wavefuntion, usted puede conseguir haciendo la ruta integral de la imposición de una condición de contorno en los campos y en un momento determinado. Pero una ruta integral de la simulación Monte-Carlo, o incluso simplemente con un poco de Mecha de rotación, hará la función de onda liquidar a ser el vacío, y las inserciones generalmente sólo perturban a finito de configuraciones de energía, por lo que conseguir las cosas que te importan para la dispersión de los problemas.

Todavía la función de onda de los campos se utilizan en algunos lugares para fines especiales, aunque, con una notable excepción, los artículos tienden a estar en el lado oscuro. Hay 1980 papeles que trató de encontrar la cadena formulación de calibre teorías que intentaron trabajar con el campo Hamiltoniano en el Schordinger representación, y estos fueron los autores célebres, pero el nombre se me escapa (alguien sabe, tal vez Lubos sabe inmediatamente).

El mejor ejemplo de este enfoque da fruto es cuando la reducción en la dimensión de una teoría de campo que tiene una relación con la conocida solución de los modelos. Este es el ejemplo de la 2+1 medidor de vacío, que fue analizado en la representación de Schrödinger por Nair y colaboradores en la década pasada.

Un reciente artículo que revisa y amplía los resultados está aquí: http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1109/1109.6376v1.pdf . Este es, por mucho, el uso más importante de Schrödinger wavefunctions en el campo de la teoría a la fecha.

Answer 2

Parece que usted se pregunta "de qué variables es la función de onda en la teoría cuántica de campos en función de?". Sin embargo, esta pregunta no tiene una respuesta única; en contraste con su implícita afirmación, no tiene una respuesta única ordinario de la mecánica cuántica de las partículas.

La función de onda es un conjunto de números complejos que determinan los coeficientes complejos en frente de los vectores de la base de un particular (o un "continuo") del espacio de Hilbert. Así que la mecánica cuántica' de la función de onda puede ser codificado en $\psi(x)$; pero también puede ser descrito en el impulso de la representación, $\tilde \psi(p)$ que es la transformada de Fourier de $\psi(x)$.

También podemos elegir diferentes vectores propios, una base diferente. Por ejemplo, el oscilador armónico (y muchos otros sistemas) tiene un conjunto discreto de energía autoestados etiquetados por $n=0,1,2,3,\dots$. En ese caso, los coeficientes de $a_n$ completamente codificar el estado vectores – la función de onda – como así.

Hay un gran número infinito de posibles bases, e incluso un gran número de bases que se utilizan comúnmente.

En la teoría cuántica de campos, la mayoría de base natural (o el más extensamente usado) es la base análoga a la del oscilador armónico de la energía eigenstate ejemplo. Para cada tipo de un campo cuántico, cada uno de polarización, y cada una de las $\vec k$ (el número de onda, es decir, la frecuencia y la dirección del movimiento), se define la contribución de este modo de la cuántica de campos a los que no interactúan parte de la energía. Este resulta ser sólo un reescalado de oscilador armónico con el espectro de $E=n\hbar\omega$ donde $n$ es un entero no negativo, que puede ser interpretado como el número de partículas.

En base a esto, para especificar la función de onda, necesitamos determinar la amplitud compleja en frente de la $n_i=0$ "vacío de estado", frente a los numerosos $n_i=(0,0,0,1,0,0,...)$ estados, que es equivalente a la no-relativista de la función de onda (por ejemplo, de posiciones o, más a menudo, los ímpetus) $\tilde \psi(p_1)$, el de los números complejos determinining el complejo de las amplitudes de todos los dos autoestados de excitación $\tilde \psi(p_1,p_2)$, y así sucesivamente, de forma indefinida (aumento del número de partículas).

Sin embargo, también es cierto que uno puede elegir un "funcionalmente super continua" la base de todas las configuraciones de los campos cuánticos. En este lenguaje, el vector de estado es un funcional $$\Psi [\phi(x,y,z), A_i(x,y,z),\dots]$$ que depende de todos los campos en$t=0$, pero no su tiempo de derivados. Un funcional es moralmente equivalente a una función de una infinidad de variables (de forma continua infinitamente muchos, al menos en este caso). No es terriblemente práctico para trabajar con una descripción de la función de onda y es difícil "medir" los valores de la funcional en diferentes puntos (para las diferentes configuraciones de los campos), pero es posible.

La partícula-ocupación de la base mencionada, es más físico, ya que la Naturaleza evoluciona de acuerdo a la Hamiltoniana para todos los estados (de los objetos y sus configuraciones), que tienden a ser al menos un poco "duradera" están cerca de la energía autoestados. Es por eso que las bases que están cerca de las bases de la energía autoestados (o estados propios de un "libre" parte de la Hamiltoniana etc.) son generalmente más útil y natural, especialmente cuando uno piensa acerca de las aplicaciones.

Answer 3

En nonrelativistic la mecánica cuántica se puede pensar (modulo de tecnicismos con aparejado espacios de Hilbert) de la representación coordinar la representación de la función de onda como la proyección del vector de estado $\Psi$ en la "dirección" de la posición del vector propio, es decir,$\Psi(x)=\langle x|\Psi \rangle$.

La teoría cuántica de campos es tradicionalmente (en los libros de texto) formulado en la interacción de la imagen. Puede, sin embargo, también se puede formular en el Schroedinger imagen, en la que un natural de la noción de función de onda que emerge. En lugar de ser un complejo de valores de la función en el espacio de posiciones de partículas, que ahora se convierte en un complejo con valores funcionales en el espacio de configuraciones del campo. Así que la función de onda(al) es la proyección de una imagen de Schroedinger estado $\Psi$ en la "dirección" de un campo de configuración de $\phi(\mathbf{x})$

$|\Psi(t) \rangle = \int \cal{D}\phi \Psi[\phi,t]|\phi \rangle$

Cumple con la funcional de la ecuación de Schroedinger

$i\frac{\partial}{\partial t} \Psi [\phi ,t] = H(\phi (\mathbf{x}), -i\frac{\delta}{\delta \phi (\mathbf{x})})\Psi [\phi ,t]$

El único libro de texto de referencia en el tratamiento de este, que yo sepa es Brian Hatfield del libro.

Answer 4

Ron y Lubo Respuestas, +1. FWIW, sin embargo, he encontrado que vale la pena tomar QFT para ser un estocástico de procesamiento de la señal formalismo en la presencia de invariante de Lorentz (quantum) de ruido.

El diablo está en los detalles, y no puedo reclamar a ser capaz de decir mucho, o incluso nada, acerca de la interacción de campos cuánticos, pero es posible construir campos aleatorios que son empíricamente equivalentes, en un sentido específico, a la cuantificada complejo de Klein-Gordon campo (EPL 87 (2009) 31002, http://arxiv.org/abs/0905.1263v2) y el campo electromagnético cuantizado (http://arxiv.org/abs/0908.2439v2completamente reescrito hace un par de semanas). Huelga decir que el hecho de que un campo aleatorio satisface el trivial de conmutación relación $[\hat\chi(x),\hat\chi(y)]=0$, en lugar del trivial de conmutación relación $[\hat\phi(x),\hat\phi(y)]=\mathrm{i}\!\Delta(x-y)$ juega de muchas maneras, y esto no es para cualquier persona que quiere permanecer en la corriente principal.

Me lo tomo como un importante ingrediente de que se trate de campos cuánticos como (lineal) funcionales a partir de un espacio de Schwartz $\mathcal{S}$ de las funciones de la ventana en un $\star$-álgebra $\mathcal{A}$ de los operadores, $\hat\phi:\mathcal{S}\rightarrow\mathcal{A};f\mapsto\hat\phi_f$, en lugar de lidiar con el operador de valores de la distribución de $\hat\phi(x)$ directamente, a pesar de que podemos construir $\hat\phi_f$ directamente de $\hat\phi(x)$, por la "borrosidad", $\hat\phi_f=\int\hat\phi(x)f(x)\mathrm{d}^4x$. En términos de estos operadores, la estructura algebraica de la cuantizado libre de Klein-Gordon campo de álgebra está completamente determinado por el colector $[\hat\phi_f,\hat\phi_g]=(f^*,g)-(g^*,f)$ donde $(f,g)=\int f^*(x)\mathrm{i}\!\Delta_+(x-y)g(y)\mathrm{d}^4x\mathrm{d}^4y$ es un Hermitian (positiva semi-definido) producto interior. Una función de ventana formalismo es parte de la Wightman axioma enfoque QFT. Tenga en cuenta que lo que se llama "las funciones de la ventana" en el procesamiento de la señal, generalmente se llama "prueba de funcionamiento" en QFT. El procesamiento de la señal de trabajos a la comunidad con la transformada de Fourier y otros se transforma en un camino que tiene paralelos con la teoría cuántica y de forma implícita o explícitamente utiliza espacios de Hilbert.

En el vacío de la cuantizado libre de Klein-Gordon campo, podemos calcular una Gaussiana de densidad de probabilidad de usar el operador $\hat\phi_f$, $$\rho_f(\lambda)=\left<0\right|\delta(\hat\phi_f-\lambda)\left|0\right>=\frac{e^{-\frac{\lambda^2}{2(f,f)}}}{\sqrt{2\pi(f,f)}},$$ que depende del producto interior $(f,f)$ [tomar la transformada de Fourier de la delta de Dirac, el uso de Baker-Campbell-Hausdorff, entonces tome la inversa de la transformada de Fourier]. La razón por la que es bueno trabajar con unta los operadores de $\hat\phi_f$ en lugar de con el operador de valores de las distribuciones $\hat\phi(x)$ es que el producto interior $(f,f)$ sólo se define cuando se $f$ es de cuadrado integrable, que un delta función en un punto es no. Podemos calcular la densidad de probabilidad utilizando un operador $\hat\phi_f$ en todos los estados, pero, por supuesto, sólo podemos calcular un conjunto de densidad de probabilidad, tales como $$\rho_{f,g}(\lambda,\mu)=\left<0\right|\delta(\hat\phi_f-\lambda)\delta(\hat\phi_g-\mu)\left|0\right>$$ if $\hat\phi_f$ commutes with $\hat\phi_g$; in other words, whenever, but in general only when, the window functions $f$ and $g$ es como el espacio, separados apoya. En el espacio-como la separación, el formalismo es perfectamente configurado para generar densidades de probabilidad, que es la razón por la QFT es como estocástico de procesamiento de la señal, pero en el tiempo-como la separación, el trivial relaciones de conmutación impedir la construcción de densidades de probabilidad.

Lo llevo a ser significativo el hecho de que la magnitud del campo cuántico, el colector, el componente imaginario del producto interior $(f,g)$, es la misma que la escala de las fluctuaciones en la densidad de probabilidad $\rho_f(\lambda)$, determinado por la diagonal componente, $(f,f)$. Es posible, de hecho, para la construcción de un campo cuántico estado en el que las dos escalas son diferentes (Phys. Lett. Un 338, de 8 a 12(2005), http://arxiv.org/abs/quant-ph/0411156v2), por lo que la equivalencia podría ser pensado como sorprendente, ya que la equivalencia de la gravitacional y la masa inercial.

No hace falta decir, hay muchas personas que están trabajando en QFT. El enfoque que he descrito es sólo uno, con una persona que trabaja en él, en contraste con la teoría de cuerdas, la supersimetría, no conmutativa geometría espacio-tiempo, etc., todos los que han tenido múltiples Físico-décadas o siglos de esfuerzo vertido en ellos. Es probablemente mejor que seguir el dinero. También, por favor, tenga en cuenta que he hackeado este en una hora, lo que he hecho porque el ensayo es siempre bueno. ¿Alguien lea todo esto?