Una desigualdad con números reales estrictamente positivos

Question

Vamos a ser $x_1, x_2, \ldots , x_n$ estrictamente los números reales positivos. Probar que la siguiente desigualdad se cumple:

$$\frac1{1+x_1}+\frac1{1+x_1+x_2}+\cdots+\frac1{1+x_1+x_2+\cdots+x_n} < \sqrt{\frac1{x_{1}}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}}$$

¿Cómo puedo abordar esta desigualdad? Traté de AM-GM, pero parece ser de ninguna ayuda.

Answer 1

Deje $s_j:=\sum_{k=1}^jx_j$. Tenemos por Cauchy-Schwarz desigualdad que $$\sum_{j=1}^n\frac 1{1+s_j}\leq \sqrt{\sum_{j=1}^n\frac{x_j}{(1+s_j)^2}}\cdot \sqrt{\sum_{j=1}^n\frac 1{x_j}},$$ por lo que sigue siendo para mostrar que $\sum_{j=1}^n\frac{x_j}{(1+s_j)^2}<1$. Tenemos $$\frac{x_j}{(1+s_j)^2}\leq \frac{x_j}{(1+s_j)(1+s_{j-1})}=\frac{(1+s_j)-(1+s_{j-1})}{(1+s_j)(1+s_{j-1})}=\frac 1{1+s_{j-1}}-\frac 1{1+s_j}$$ por lo tanto $$\sum_{j=1}^n\frac{x_j}{(1+s_j)^2}\leq 1-\frac 1{1+s_n}<1.$$