¿Por qué debemos deshacernos de integración indefinida?

Question

Es el símbolo mismo de la "integral indefinida" que es erróneo y confuso. Debe ser eliminado y se mantiene sólo como un "la culpa la práctica", como el tratamiento de la $dy/dx$ como una fracción real y cosas así.

Me encontré con esta declaración como bien recibidos por el comentario en otra pregunta. Estoy interesado en la comprensión de cuáles son las razones para esta posición, principalmente porque tengo curiosidad acerca de por qué algo me han enseñado desde la infancia podría estar equivocado.

También, como estoy empezando a estudiar matemáticas a nivel de posgrado estoy viendo integración numérica se utiliza más a menudo. Por ejemplo, las condiciones iniciales a menudo son aplicadas directamente como en $y(0)=0, f(y)\,dy/dx = g(x) \implies \int_0^yf(u)\,du = \int_0^x g(v)dv$, y yo voy a tener que acostumbrarse a ver las soluciones escrito con la inserción de las integrales definidas, donde la analítica de los resultados no pueden ser encontrados. Con este comentario en mente, me pregunto si más parsimonioso enfoque sería mejor, cayendo indefinido integrales por completo.

Answer 1

Indefinido de integración se utiliza más a menudo para denotar anti-diferenciación, que lleva a los estudiantes a creer que la integración y anti-diferenciación son la misma cosa, que no es absolutamente cierto. Hay un montón de funciones que tienen efectos anti-derivados, pero no son integrables, y las funciones que son integrables, pero no tienen anti-derivados. El uso de anti-derivados no es el problema, es que el término "integral indefinida" y el uso de un integrante del símbolo para ellos, ese es el problema.

Edit: supongo que estamos hablando de Riemann de integración de aquí. Tomar cualquier función de $f$ que es diferenciable en un intervalo tal que $f'$ es ilimitado. A continuación, $f'$ tiene una antiderivada, es decir,$f$, pero no es integrable en el intervalo desde integrable funciones debe estar acotada. El problema es que los estudiantes llegan a creer que el Teorema Fundamental del Cálculo nos dice cómo calcular todas las integrales, cuando en realidad esto sólo se aplica a ciertas integrales.

Answer 2

Las primitivas son útiles (Barrow regla!). Estoy de acuerdo en que el nombre "integral indefinida" y el símbolo que se utiliza puede ser confuso para algunos (torpe) a los estudiantes.

Answer 3

La integral indefinida es simplemente el conjunto de antiderivatives de una función. Una vez que se puede probar que todos los antiderivatives difieren por una constante, por lo tanto el $+C$. Pero, se puede definir el conjunto de antiderivatives sin ninguna mención del concepto de integración. Es sólo después de que el Teorema Fundamental se discute que uno puede ver por qué usamos la integral símbolo.

Answer 4

Es cierto que, a diferencia de los derivados, exacta primitivas de pronto a dejar la habitación a las estimaciones (es decir, aproximar soluciones y así sucesivamente) en muchas ramas del análisis matemático. Si el estudio de las ecuaciones diferenciales, verás que sólo unos pocos de ecuaciones puede ser resuelto mediante el cálculo de primitivas.

Sin embargo, yo no paraba de enseñanza (indefinido) integración a mis alumnos. Estoy de acuerdo en que hemos de pasar muchas horas haciendo ejercicios en las primitivas, ya que ningún trabajo científico nunca va calcular a mano cosas como $$\int \frac{x^4-3}{x^5+5x^3-x+1}dx.$$ Por el contrario, todos hemos aprendido que la única forma razonable para calcular definitiva de las integrales es th aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo. Por lo tanto, tarde o temprano, los estudiantes deben aprender el cálculo de primitivas. Hablando acerca de la notación, sería mejor escribir $$\int f(x)\, dx = \mathcal{I}(f)?$$ Algunos libros ello, pero me inclino a creer que los instructores como este más que los estudiantes nunca va a hacer.