Que conmutativa plataformas de surgir a partir de una distribución de la categoría?

Question

Una plataforma es una expresión algebraica objeto con la multiplicación y la suma, que la multiplicación distribuye sobre la suma y la suma es conmutativa. Sin embargo, en lugar de exigir que el conjunto forma un grupo abelian bajo, además, se exige solamente que se forma un abelian monoid. Un conmutativa plataforma es una plataforma en la que la multiplicación induce un abelian monoid.

Un distributiva categoría es una categoría pequeña con finito de productos y co-productos, que voy a denotar * y +, respectivamente, tales que la canónica de morfismos X * Y + X * Z \rightarrow X * (Y+Z) es un isomorfismo. Esencialmente, tomar productos que distribuye más de tomar co-productos.

Hay una aparente similitud formal entre las definiciones, y, de hecho, usted puede conseguir un conmutativa aparejo de un distributiva en la categoría C por tomar los objetos de la plataforma para ser isomorfismo clases de objetos en la categoría (lo que es equivalente, teniendo en cuenta el esqueleto de la categoría) y dejar que los co-productos corresponden a la suma y productos para la multiplicación. Por ejemplo, si usted comienza con la categoría de conjuntos finitos, puede skeletonize para obtener un conmutativa rig isomorfo a la plataforma de números naturales.

Así que la pregunta es, ¿cada conmutativa aparejo de surgir esta manera a partir de algunos distributiva de la categoría? Sospecho que la respuesta es "no", e incluso se puede pensar en algunas probabilidades de contraejemplos (el de los números reales no negativos, Z), pero no creo que de una manera evidente para demostrar que son contraejemplos.

Suponiendo que mi corazonada es correcta, ¿hay una buena manera de clasificar las plataformas que surgen de esta manera? Es allí una manera de clasificar los anillos conmutativos que surgen cuando se agrega negativos para estas plataformas (de forma análoga a la Grothendieck del grupo)?

Answer 1

No conmutativa de perforación con una solución no trivial a x + y = 0 (en particular, no distinto de cero anillo) puede surgir a partir de una distribución de la categoría. Creo Schanuel observa esta cerca del comienzo de uno de sus artículos sobre Euler características.

La prueba es simple. Supongamos que C es un distributiva categoría y R es su asociado conmutativa rig. Supongamos que x + y = 0 para algún x, y en R. tenga en cuenta que 0 en R es el isomorfismo de la clase del objeto inicial 0 de C, ya que este último es, obviamente, un aditivo de la unidad. Luego están los objetos X e y en la C, y un isomorfismo X ∐ Y -> 0. En otras palabras, para cada objeto Z de C, • = Hom(0, Z) = Hom(X ∐ Y, Z) = Hom(X, Z) × Hom(Y, Z), y esto sólo puede suceder cuando Hom(X, Z) = Hom(Y, Z) = •, de manera que X e y son también las iniciales de los objetos y por lo tanto x = y = 0.

Por supuesto, el grupo de completar el aparejo de una categoría es una forma de evitar esto. Alternativamente, usted puede trabajar en algún tipo de homotopical configuración, por ejemplo, finito CW complejos, y reemplazar la condición acerca de co-productos con uno acerca de homotopy pushouts. De cualquier manera, usted tiene que definir el anillo de tal manera que sus elementos no están isomorfismo clases de objetos, pero en el último caso, al menos puedes encontrar representantes en la categoría por cada anillo elemento.

Answer 2

Reid dio la mitad de la respuesta que iba a dar — que para su equipo será surgir de una categoría (por lo Schanuel llama a la "Victoria de equipo"; por cierto, el Schanuel documento en cuestión es MR1173024, y es muy bueno) una condición necesaria es que no hay soluciones no triviales para 0 = x + y. Del mismo modo, no puede haber soluciones no triviales a 1 = x * y. De hecho, estas condiciones no requieren ningún tipo de distributividad, por lo que es muy improbable que son condiciones suficientes.

Dado que la Categorización es muy popular, como Reid menciona que existen construcciones para evitar estas dificultades. Schanuel muestra que un número de categorías naturales han Burnside rig N[x]/(x=2x+1); el cancelative cociente de esta plataforma es Z. Báez y Dolan, como el 2-categoría de finito groupoids como un ejemplo prototípico en el que la división puede ser introducido. De hecho, ellos definen "groupoid cardinalidad de" tomar valores no negativos racionales. Estos ejemplos pueden ser combinados para alguna categoría de finito orbifolds. Pero todos estos mapas son muy pérdida de información.

Permítanme citar un poco de Schanuel del papel:

La Victoria que el equipo (el de isomorfismo clases de objetos, añadido por el subproducto y se multiplica por producto) de un distributiva categoría tiene algunas características especiales, la primera de la que tenemos ya hemos visto.

1. Si a + b = 0, entonces a = b = 0.
2. Si Σ un_i = ∑ b_j, entonces existe c_ij tal que ∑ _j c_ij = a_i y Σ_i c_ij = b_j.
3. Si está conectado (a no es 0, y a = b + c implica b = 0 o c = 0), entonces a es cancelables (a + x = a + y implica x = y).
4. 1 es cancelable (si está conectado o no).
5. Si ab=1, entonces a=b=1.

Propiedades (1) y (3) de (2), que sigue fácilmente a partir de la observación de que subproducto de descomposición A = Σ_I Un_i corresponden a los mapas, A → 1 + 1 + ... + 1 (I). No sé qué propiedades caracterizan a Burnside plataformas de distribución de las categorías.

Voy a concluir por mencionar dos homomorphisms de cualquier equipo, que puede ser de interés en tratar de clasificar a Burnside plataformas. Primero, hay cancelative cociente R/~, donde a~b si existe algún x con a+x=b+x; porque de Schanuel la imagen geométrica, él llama a esto "la Característica de Euler". El segundo no lo Schanuel llama "dimensión" R/~ donde la relación ~ es generado por 1+1~1.