¿Lo que ' s un ejemplo de un espacio que necesita el teorema de Hahn-Banach?

Question

El de Hahn-Banach teorema se considera, con razón como uno de los Grandes Teoremas en el análisis funcional. De hecho, puede decirse que es donde el análisis funcional realmente comienza. Pero como es uno de esos "no existe ..." teoremas que no le dará ninguna información en cuanto a cómo encontrar; de hecho, es bastante habitual cuando se la enseñe a introducir el separables caso de que el primero (que es razonablemente constructiva) antes de ir a la plena teorema. Así que es de uso real es en situaciones donde solo conocer la funcional que existe es suficiente - si usted puede escribir un funcional que hace el trabajo, entonces no hay ninguna necesidad de que el de Hahn-Banach Teorema.

Así que mi pregunta es: ¿cuál es un buen ejemplo de un espacio donde se necesita el de Hahn-Banach teorema?

Lo ideal es que el espacio en sí mismo no debería ser demasiado difícil de expresar, y normativa espacios vectoriales son preferibles a los no-normativa (una buena no-normativa vector de espacio sería bueno saber, pero sería de menor uso pedagógico).

Edit: me parece mal que aceptar una de estas respuestas como "la" respuesta, no lo voy a hacer eso. Si es obligado, yo diría que $\ell^\infty$, es el mejor ejemplo: es probablemente el más fácil de no-separable espacio para pensar y, como he aprendido, se hace necesario el de Hahn-Banach teorema.

Por cierto, una cosa que no se dijo, y que se me olvidó cuando la pregunta era que un ejemplo de ello es, por necesidad, va a ser que no-separables, ya contables de Hahn-Banach es comprobable simplemente con la inducción.

Answer 1

No estoy seguro exactamente lo que tienes en mente por "la necesidad de Hahn-Banach teorema". Un ejemplo de algo muy concreto para que Hahn-Banach en alguna forma es necesario es demostrar que no son lineales funcionales en $\ell^\infty$, que no están representados por los elementos de $\ell^1$. Es un ejercicio para demostrar que $\ell^1$ actúa como el doble de secuencias convergentes a 0, ya que es un buen subespacio cerrado de $\ell^\infty$, de Hahn-Banach produce más lineal funcionales en $\ell^\infty$.

Esto está estrechamente relacionado con el tema de los límites de Banach.

Answer 2

Hay otra lógica bocado aquí.

De Hahn-Banach (HB) es estrictamente más débil que el Axioma de Elección (AC), es decir, bajo el supuesto de consistencia como de costumbre-en ZF, CA implica HB pero no la otra manera alrededor. Otro intermedio teorema de análisis funcional es el Krein-Milman teorema: "en Un compacto convexo no vacío situado en un localmente convexo del espacio tiene un punto extremo" Llamar KM. En ZF, CA implica KM, pero no la otra manera alrededor. Y el punto interesante es que, los dos juntos, nos llega de CA. Así que en ZF, HB+KM implica y está implícita por AC.

Answer 3

El teorema de Gelfand-Naimark dice que cualquier $C ^ \ast$-álgebra es isomorfa a una norma cerrada $\ast$-subalgebra de $ $B(H) para un conveniente Hilbert espacio $H$. Para probar este teorema, es imperativo que nuestros $C ^ \ast$-álgebra tienen Estados, que utiliza el teorema de Hahn-Banach.

También se puede utilizar el teorema de Hahn-Banach en vez de Teorema de Tychonoff para construir $\beta X$, la compactación de Stone-Cech de $X$. Esto se relaciona estrechamente con respuesta de @Mark Meckes.

Answer 4

Si $G$ es un grupo, Bavard mostró que la estable colector de longitud se desvanece en $[G,G]$ si y sólo si $G$ no admite trivial "homogéneo quasimorphisms". Estas funciones (en el espacio de grupo $1$-límites) son construidos usando el de Hahn-Banach teorema, pero por lo general muy difícil (o imposible) para escribir de forma explícita.

Otro ejemplo: supongamos $M$ ser triangulados colector, y supongamos que se oriente cada borde de cada simplex de tal manera que las orientaciones que vienen de un total de "orden" en cada triángulo. Nos gustaría asignar positivo "longitudes" a cada borde de tal manera que en cada triángulo, la suma de los valores en los "bordes cortos" es igual al valor en el "borde largo" (donde "corto" y "largo" se definen de acuerdo a las orientaciones). El (finito-dimensional!) De Hahn-Banach teorema nos dice que podemos hacer esto si y sólo si cada orientadas bucle en el 1-esqueleto es homologically esencial; es decir, "homológica positividad" se puede mejorar "de la cadena de positividad". Por supuesto, el finito-dimensional de Hahn-Banach teorema es sólo una muleta psicológica, pero las versiones de esta construcción en otras categorías de necesidad "real" de Hahn-Banach teorema (que se aplica a ciertos espacios de de Rham corrientes).

Answer 5

Me gustaría resumir la respuesta que se ha desarrollado a partir de Eric Shechter del libro, a través de la Marca Meckes, además de la observación de Gerald Edgar. Ya que no es realmente mi respuesta, estoy haciendo de esta una comunidad de respuesta.

1. El de Hahn-Banach teorema es realmente el de Hahn-Banach axioma. Como el axioma de elección, de Hahn-Banach que no puede ser probado de ZF. Lo Hahn y de Banach demostrado es que AC implica HB. El recíproco no es cierto: los Lógicos han construido axioma establece que contradicen la HB, y que han construido razonable axiomas estrictamente entre el AC y el HB. Por lo que una versión de Andrew pregunta es, hay un natural de Banach espacio que requiere la HB axioma? Para la pregunta, vamos a tomar la HB para decir que todo espacio de Banach $X$ incrusta en su segundo doble $X^{**}$.

2. Como Shechter explica, Sela mostró la relativa consistencia de ZF + DC + BP (dependiente de la elección además de Baire propiedad). Como él explica, también, estos axiomas implica que $(\ell^\infty)^* = \ell^1$. Esto es contrario a la de Hahn-Banach teorema como se explica en el siguiente punto. Una manera sorprendente en la frase de la conclusión es que $\ell^1$ y su doble $\ell^\infty$ convertido en espacios de Banach reflexivo.

3. $c_0$ es el subespacio cerrado de $\ell^\infty$ consta de secuencias que converge a 0. El cociente de $\ell^\infty/c_0$ es eminentemente natural de Banach espacio en el que la norma de una secuencia es de $\max(\lim \sup,-\lim \inf)$. (Otro ejemplo es $c$, el subespacio de secuencias convergentes. En $\ell^\infty/c$, la norma es la mitad de $\lim \sup - \lim \inf$.) El producto interior entre $\ell^1$ y $c_0$ es no degenerada, por lo que en Sela del sistema de axiomas, $(\ell^\infty/c_0)^* = 0$. Sin Hahn-Banach axioma, el espacio de Banach $\ell^\infty/c_0$ no necesita tener ningún no-cero delimitada funcionales.