Probabilidad de hacer rodar un dado de 8 veces antes de que todos los números que se muestran.

Question

¿Cuál es la probabilidad de tener que lanzar una (seis lados) dados por lo menos 8 veces antes de que llegue a ver todos los números, al menos una vez?

Realmente no tengo ni idea de cómo solucionar esto.

Edit: Si estamos tratando de encontrar el número de situaciones en las que todos los números se muestran, para los siete rollos, un resultado favorable sería aquella en la que hay dos números de la misma, por ejemplo: 1123456. Estos números pueden ser organizadas en 7!/2!5! maneras, y hay 6 números diferentes que podría repetirse. De modo que la probabilidad de obtener todos los 6 números con 7 tiros es (6*7!/2!5!)/6^7 = 126/279936. Es ese derecho? Entonces 1 menos esta es la probabilidad?

Edit: prob. de no conseguir los seis números con siete rollos = 1-prob de que todos los seis números con siete rollos

Seis números de la misma con siete rollos significa que un número se repite dos veces 7!/2! maneras de hacer esto para cada uno repite el número de 6*(7!/2!) es el número de maneras de conseguir que todos los seis números con siete rollos. Número Total de resultados 6^7. Prob de que todos los seis números con siete rollos = (6*(7!/2!))/6^7 = 0.054 Prob de no conseguir los seis números con siete rollos (=prob de la necesidad de al menos 8 rollos para obtener todos los números) = 1-0.054 = 0.946

Answer 1

Reformular la pregunta:

¿Cuál es la probabilidad de no ver todos los $6$ valores a la hora de rodar un dado $7$ veces?

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Encontrar la probabilidad de que el complementario del suceso:

¿Cuál es la probabilidad de ver todos los $6$ valores a la hora de rodar un dado $7$ veces?

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El uso de la inclusión/exclusión de principio a fin de contar el número de maneras:

• Incluir el número de maneras de rodar un dado $7$ veces y ver de a $6$ diferentes valores: $\binom66\cdot6^7$
• Excluir el número de maneras de rodar un dado $7$ veces y ver de a $5$ diferentes valores: $\binom65\cdot5^7$
• Incluir el número de maneras de rodar un dado $7$ veces y ver de a $4$ diferentes valores: $\binom64\cdot4^7$
• Excluir el número de maneras de rodar un dado $7$ veces y ver de a $3$ diferentes valores: $\binom63\cdot3^7$
• Incluir el número de maneras de rodar un dado $7$ veces y ver de a $2$ diferentes valores: $\binom62\cdot2^7$
• Excluir el número de maneras de rodar un dado $7$ veces y ver de a $1$ diferentes valores: $\binom61\cdot1^7$

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Divida el resultado por el total de número de maneras, que es $6^7$:

$$\frac{\binom66\cdot6^7-\binom65\cdot5^7+\binom64\cdot4^7-\binom63\cdot3^7+\binom62\cdot2^7-\binom61\cdot1^7}{6^7}=\frac{35}{648}$$

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Calcular la probabilidad de que el evento original restando el resultado de $1$:

$$1-\frac{35}{648}=\frac{613}{648}\approx94.6\%$$

Answer 2

(Edit: la Respuesta es la probabilidad de ver todos los números para $n$ rollos)

Exactamente $n$ rollos, el problema puede ser resuelto mediante una cadena de markov

\begin{align*} A&= \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\cr 0 & \frac{1}{6} & \frac{5}{6} & 0 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{6} & \frac{1}{6}\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{align*}

donde las filas y las columnas, el número de caras del dado visto.

La probabilidad de ver todas las caras en exactamente 8 rollos es$(A^8)[0,6]$, $\dfrac{665}{5832}\approx 0.11402606310014$

Para cualquier $n$, se puede encontrar mediante la búsqueda de la generación de la función $G(z)$ y a su vez encontrar el coeficiente de $z^n$

\begin{align*} \mathbb{P}(n) = 1-\frac{20}{2^n}+15\left(\frac{2}{3}\right)^n+\frac{15}{3^n}-6\left(\frac{5}{6}\right)^n-\frac{6}{6^n} \end{align*}

Answer 3

Tal vez esto sea de ayuda, incluso si no es tu respuesta final.

Si de una feria se rueda el dado de 8 veces y $X$ es el número de diferentes caras visto, luego de la simulación de un millón de actuaciones de los 8-roll experimento muestra la siguiente distribución aproximada de $X$, en los cuales el margen de simulación de error es de alrededor de $\pm 0.001.$

         1        2        3        4        5        6 
  0.000003 0.002275 0.069393 0.363681 0.450468 0.114180 

Por supuesto, $P(X = 1) = 1/6^7 = 0.000004$ a 6 plazas. Para obtener $P(X = 6),$ considera que un rostro puede ser visto tres veces, o dos caras diferentes de mayo de cada ser visto dos veces. Un sencillo cálculo de otras probabilidades en la distribución parece factible, pero cada vez más tedioso. Tal vez no son inteligentes combinatoria los métodos que hacen que algunos de ellos más fácil.

Sin embargo, en espera de aclaración, todavía no estoy seguro de si $P(X = 6)$ es exactamente la probabilidad de que usted está tratando de encontrar.

Notas:

(a) Para un 7-roll experimento un análogo de simulación da $0.0544 \pm 0.001,$ que no está de acuerdo con el resultado de la $126/279936 \approx 0.00045.$ (no creo que usted está considerando todas las posibles permutaciones de los números que aparecen sólo una vez.)

(b) Para un 6-rollo de un experimento de simulación de da $0.015496 \pm 0.001,$ en comparación con el exacto $6!/6^6 = 0.0154321.$ Claramente, la probabilidad de obtener 6 caras es de 7 rollos debe ser mayor que que.

(c) Un problema relacionado es el número de rollos $W$ requerido antes de que todos los 6 caras se ven. A continuación, $E(W) = 6/6 + 6/5 + \dots + 6/1 = 14.7.$ Para más información sobre esto, vea el 'cupón de recogida de problema".

Answer 4

He aquí otra manera de ver las cosas, a lo largo de las líneas sugeridas por barak manos.

Tenga en cuenta que 7 rollos que contienen todos los 6 valores que debe contener un duplicado. Hay $\binom{7}{2}\cdot 6$ opciones para las entradas duplicadas. Por lo tanto, la probabilidad está dada por

$$1-\frac{\binom{7}{2}\cdot 6\cdot 5!}{6^7} = 1-\frac{70}{1296}=\frac{613}{648}.$$