Un grupo con cinco elementos es abeliano

Question

He intentado demostrar el siguiente teorema: Un grupo con cinco elementos es abeliano.

Sólo conozco la definición de grupo y subgrupo, pero nada más (es un problema de Topics in Algebra de IN Herstein). He intentado algunas cosas pero sin éxito.

Supongamos que el grupo es $G=\{e,g_1,g_2,g_3,g_4\}$ . $g_1g_2$ no puede ser $g_1$ o $g_2$ o bien uno de ellos será la identidad, $e$ así que.., $g_1g_2$ es $g_3$ o $g_4$ o $e$ .

Caso I: $g_1g_2=e$ .(así, $g_2g_1=e$ ). Entonces $g_1g_3=g_2$ o $g_4$ ( $g_1g_3\not=e$ o bien $g_2=g_3$ ). Diga, $g_1g_3=g_2$ . Es decir, $g_1=g_3^{-1}g_2\implies g_1g_2=g_3^{-1}g_2^2=e$ o en otras palabras, $g_2^2=g_3$ . Usando esto, $g_3g_1=g_2^2g_1=g_2(g_2g_1)=g_2$ y tenemos $g_1g_3=g_1g_2^2=g_2$ .

¡Tal vez, esto conduzca a una solución, pero me preguntaba si hay una manera mucho más inteligente de hacerlo, ya que esto conduce a un montón de trabajo en el caso! .

Answer 1

Sugerencia: suponga que su grupo es no abeliana. Entonces se pueden encontrar dos diferentes elementos, digamos (después de la renumeración) $g_1$ y $g_2$ no es igual a la identidad, tal que $g_1g_2 \neq g_2g_1$ . Entonces los elementos $\{e, g_1,g_2, g_1g_2, g_2g_1\}$ son todo diferente. Ahora trata de derivar una contradicción (mira $g_1^2$ - ¿de qué elemento del conjunto se trata? Haz lo mismo con $g_1g_2g_1$ ).

A continuación encontrará más detalles.

En un grupo finito, no hay ningún elemento tal que $g_1^2=g_1$ . También $g_1^2$ no puede ser ni $g_1g_2$ ni $g_2g_1$ porque $g_2\neq g_1$ . Desde $g_2=g_1^2$ produciría $g_1g_2=g_1^3=g_2g_1$ También es imposible. Por lo tanto, $g_1^2=e$ . Ahora observamos $g_1g_2g_1$ . Tenga en cuenta que $g_1,\, g_1g_2,\, g_2g_1\neq e$ con funcionamiento tanto a la izquierda como a la derecha, $g_1g_2g_1\neq g_1g_2,\, g_2g_1,\, g_1$ . Sin embargo, si $g_1g_2g_1=e$ Tendremos $g_1g_2=g_1^{-1}=g_2g_1$ ; si $g_1g_2g_1=g_1$ , $g_1g_2=e=g_2g_1$ se producirá. De ello se deriva una contradicción.

Answer 2

Propuesta 1 : Todo grupo de orden primo es cíclico.

Dejemos que $G$ sea un grupo no trivial de orden $p$ y tomar $g\in G$ , $g\neq1$ . Así que $\langle g\rangle$ es un subgrupo de $G$ por lo que su orden debe dividir $p$ que es primo, por lo que $|\langle g\rangle|=p$ Por lo tanto $\langle g\rangle=G$ .

Propuesta 2 : Todo grupo cíclico es abeliano.

Un grupo cíclico finito es por definición del tipo $G=\langle g\rangle:=\{1,g,g^2,\dots,g^{n-1}\}$ . El hecho de que sus elementos conmuten se deduce fácilmente.

Answer 3

Depende de los datos de que se disponga, pero se puede ver esto rápidamente si se conoce el hecho fácilmente deducible de que en un grupo $G$ de orden $n$ el orden de cada elemento es un factor de $n$ . Así, cada elemento de un grupo de orden $5$ tiene orden $1$ o $5$ y sólo la identidad tiene orden $1$ por definición. Entonces, cualquier otro elemento $g$ tiene orden $5$ por lo que cada elemento es una potencia de $g$ y por lo tanto el grupo es abeliano, y de hecho $G \cong \mathbb{Z}_5$ . NB este argumento sólo utilizó que $5$ es primo, así que funciona también para cualquier orden primo.

Answer 4

Se sabe que el orden de una clase de conjugación de un elemento del grupo divide el orden del grupo. Con $|G|=5$ Esto da como resultado una clase de conjugación con $5$ elementos, o cinco clases de conjugación con un elemento. Como el elemento de identidad siempre tiene su propia clase de conjugación, el primer caso es imposible. Como todas las clases de conjugación tienen un solo elemento, es $G$ conmutativa.

Answer 5

Vas por buen camino. Hay una forma más "inteligente" de hacerlo, pero requiere un mayor conocimiento de los teoremas. Parte del objetivo de este ejercicio es ayudarte a apreciar más esos teoremas cuando los aprendas (como hiciste la pregunta hace 6 años, asumo que ya lo habrás aprendido, pero respondo por si alguien más tiene la misma duda).

Mi solución tenía tres partes: Primero, asumir $a,b\in G$ con $a\neq b$ . La primera parte consiste en demostrar que $e,a,b,ab,ba$ son todos distintos (es decir ${5\choose 2} = 10$ igualdades que tienes que refutar). Esto le permite concluir que estos cinco elementos son exactamente los cinco elementos de $G$ . A continuación, demuestre que $a$ y $b$ son cada uno sus propios inversos, y $(ba)^{-1}=ab$ . Por último, analice el elemento $aba$ y demostrar que se obtiene una contradicción sin importar cuál de los cinco elementos de $G$ es igual a $aba$ .

Como aparentemente es un problema bastante común en los estudiantes, no daré la solución completa, pero ese esquema debería darte una orientación lo suficientemente clara como para que puedas completar los detalles tú mismo.