¿Cómo se puede evaluar $\int_{0}^{\infty}e^{-xt}\sin(t)dt$ sin el uso de transformadas de Laplace?

Question

Sin el uso de transformadas de Laplace, ¿cómo puedo demostrar que para todo número positivo $x$ la siguiente ecuación es válida? $$\int_{0}^{\infty}e^{-xt}\sin(t)dt=\frac{1}{x^2+1}. $$

Answer 1

¿Por qué el "análisis complejo" etiqueta? Es sólo una doble integración:

$$ \int e^{xt}\sin(t)dt=-\frac{1}{x}e^{xt}\sin(t)+\frac{1}{x}\int e^{xt}\cos(t)dt= $$

$$ =-\frac{1}{x}e^{xt}\sin(t)-\frac{1}{x^2}e^{xt}\cos(t)-\frac{1}{x^2}\int e^{xt}\sin(t)dt $$

De ello se sigue que

$$ \left(1+\frac{1}{x^2}\right)\int e^{xt}\sin(t)dt= -\frac{1}{x}e^{xt}\sin(t)-\frac{1}{x^2}e^{xt}\cos(t)+ $$

De ello se sigue que

$$ \left(1+\frac{1}{x^2}\right)\int_0^\infty e^{xt}\sin(t)dt= \frac{1}{x^2} $$

$$ \left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)\int_0^\infty e^{xt}\sin(t)dt= \frac{1}{x^2} $$

$$ \int_0^\infty e^{xt}\sin(t)dt= \frac{1}{1+x^2} $$ De ello se sigue que la integral es igual a $\displaystyle \frac{1}{x^2+1}$, como usted escribió.

Answer 2

Sin embargo, otro (especialmente útil al evaluar la integral particular de la educación a distancia):

\begin{align} \int_{0}^{\infty}e^{-xt}\sin t\ dt&=\Im\left[\int_0^\infty e^{-xt}e^{it}\ dt\right]\\ &=\Im\left[\int_0^\infty e^{-(x-i)t}\ dt\right]\\ &=\Im\left[\frac1{x-i}\right]\\ &=\Im\left[\frac1{x-i}\cdot\frac{x+i}{x+i}\right]\\ &=\frac1{x^2+1}. \end{align}

Answer 3

$\rm\bf Hint$: $$\large e^{it}=\cos(t)+i\sin(t)\implies \sin(t)=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}.$$

Answer 4

Si integramos por partes dos veces, el uso de $u=\exp(-xt), dv=\sin(t)dt$ $dv= \cos(t)dt$ usted obtiene la misma integral de la espalda y que puede resolver.