He encontrado el siguiente texto:
Como un ejemplo de la segunda en su defecto, Poincaré recordó la definición de la número 1 a cargo de otra de las logicists, Burali-Forti: $$1 = \imath\,T'\{Ko\cap(u,h)\in(u\in O\,n\,e)\}$$ Esto está escrito en una notación ideado por Peano, y de hecho en lo que Poincaré llamado el "Peanian del lenguaje".
Y ¿cuál es el significado de esta ecuación?
Hay muchas maneras diferentes en las que el número 'uno' puede ser definido. Una discusión sobre el texto de referencia se puede encontrar en de Poincaré de la "Ciencia del Método" (págs. 458-459) donde el autor, también, está seguro de Burali-Forti de la notación. (Nota: estoy usando una traducción por Halsted a partir de 1982.)
Entiendo Peanian [el lenguaje de Peano] demasiado enfermo para atreverse riesgo de una crítica, pero aún así me temo que esta definición contiene una petitio principio, teniendo en cuenta que yo vea la figura 1 en el primer número de la Onu y en las letras, en el segundo. (Poincaré, p. 458)
Él habla de una definición diferente de "cero", por otro matemático (Couturat), un par de líneas más adelante:
el cero es el número de cosas que la satisfacción de una condición nunca satisfecho. (Poincaré, p. 458)
Finalmente, Poincaré cites Couturat de nuevo en la definición de 'uno' de la siguiente manera:
Uno, dice [Couturat] en el fondo, es el número de elementos en una clase en la que cualquiera de los dos elementos son idénticos. (Poincaré, p. 458)
Por supuesto, Poincaré notas potencialmente grave problema en la definición de arriba de uno de ellos: es decir, se basa en el uso de la palabra dos!
Si lees en otros lugares acerca de Peano (incluyendo otras preguntas aquí sobre el MSE) estoy seguro de que usted puede ver algunas de las maneras en que el "cero" y " uno " son definidos.
No voy a tratar de dar una definición de aquí, pero la observación en lugar de que esta sección ("las Matemáticas y la Lógica") concluye poco después con un breve intercambio de palabras entre Poincaré y Hadamard. El ex cree Burali-Forti razonamiento del ser "irreprochable" (pág. 459) con la que Hadamard no está de acuerdo, observando, además, que
Burali-Forti no tenía ningún derecho a hablar de la suma de todos los números ordinales. (Hadamard citada en la de Poincaré, p. 459)
Poincaré, a continuación, los estados intentó en vano convencer a Hadamard de otra manera, pero que no tuvo éxito; todo para el mejor, posteriormente, observaciones, como él [Poincaré] siente Hadamard finalmente fue correcta en el asunto.
Me incluir una mención de la breve intercambio entre estos dos porque me parece algo muy interesante: Esta es la única mención de que el matemático Jacques Hadamard de Poincaré del tomo tiempo, a pesar de Hadamard iría a escribir una pieza importante en la creatividad en matemáticas - que popularizó el cuento clásico de Poincaré de la repentina visión acerca de Fuschian funciones como él los pasos en un omnibus - titulado "la Psicología de la Invención" (Hadamard, 1945). Este (mucho más corto) el libro es, según su autor, inspirado por Poincaré de la escritura. No ayuda con la definición de los números naturales, pero es otro buen trozo de texto" que pensé digno de cita aquí.
El documento original por Cesare Burali-Forti, explica esta fórmula como sigue:
nos dicen que uno es el tipo ordinal de los ordinales de la clase $(u, h)$ tal que $u$ contiene sólo un elemento.
Aquí está el original en italiano:
Poniamo $$1 = \overline{\imath\,}\,\mathrm{T}`\{\mathrm{Ko}\cap\overline{(u,h)}\mathop{\varepsilon}(u\mathop{\varepsilon}\mathrm{Un})\}$$ cioè diciamo uno il tipo d'ordine delle classi ordinate $(u, h)$ tali che $$ u contiene un solo elemento.
Aquí el papel de los usos de los mayores Peano la notación $\varepsilon$ para el conjunto de la inclusión que ha quedado obsoleto en Russell Principia. $\textrm{Ko}$ es la clase de los números ordinales, $\mathrm{Un}$ es la clase de los conjuntos que contienen un solo elemento (puede ser definido, por ejemplo el uso de la igualdad, pero esto no se discute en el papel), y $\mathrm{T}`(u,h)$ es la función que se asigna a una clase de equivalencia $(u,h)$ a su tipo ordinal.
El punto de esta definición es vincular a los números naturales y ordinales tipos, a saber, indicando que los números naturales puede ser identificado con el ordinal tipos de finito de los números ordinales.
Aquí está la captura de pantalla de la fórmula tal y como aparece en el papel que se llama Una Questione sui Numeri Transfiniti que fue publicado en Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo en 1897.
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