Podemos encontrar matemáticas sin evaluación o membresía?

Question

En cierto sentido, la composición generaliza la evaluación. El truco es, en lugar de escribir $f(x)$ $x$ un elemento del dominio de $X,$ escribimos $f \circ x$ $x$ una función de $1 \rightarrow X$. Del mismo modo, la inclusión generaliza membresía (en algún sentido). La idea es que en lugar de escribir $x \in X$ y llamando $x$ un elemento, podemos escribir la $x \subseteq X$ y la demanda que $x$ ser un singleton.

Ahora estas observaciones no sería tan interesante si composición/inclusión fueron un mal comportamiento en relación a la evaluación y la pertenencia. Si hay algo, sin embargo, lo opuesto es la verdad. En particular:

1. la composición es asociativa, la evaluación no es.
2. la inclusión es transitiva, la membresía no es.

Por supuesto, la evaluación o la pertenencia a dúo está parcialmente redimido por su buena extensionality propiedades. En particular:

• Si $f$ $g$ dominio $X$, entonces si para todas las $x \in X$ tenemos $f(x)=g(x)$,$f=g$.
• Si $A,B \subseteq X,$, entonces si para todas las $x \in X$ tenemos $x \in A \leftrightarrow x \in B$,$A=B$.

Sin embargo, podemos refrito de las anteriores observaciones (o axiomas o lo que sea) en declaraciones que involucran sólo a composición/inclusión.

• Si $f$ $g$ dominio $X$, entonces si para todas las $x : 1 \rightarrow X$ tenemos $f \circ x=g \circ x$,$f=g$.
• Si $A,B \subseteq X$, entonces si para todos los singletons $x \subseteq X$ tenemos $x \subseteq A \leftrightarrow x \subseteq B$,$A=B$.

Entonces, me pregunto: ¿podemos encontrar matemáticas sin el uso de las nociones de evaluación/membresía?

Sé por ejemplo que categorial conjunto de teorías como la ETCS hacer un gran salto en esta dirección. Sin embargo, hasta donde yo sé, todas esas teorías están todavía basadas en clásicos de la lógica de primer orden. Por lo tanto, tenemos expresiones como $g \circ f$, que básicamente denotar la función de $\circ$ siendo evaluada en la $(g,f).$, por tanto, no están completamente desterrado de evaluación, sólo lessensed su protagonismo.

Además, la lógica de primer orden también cuenta con expresiones como $\forall x Px.$ sin Embargo, este es conceptualmente equivalente a una expresión similar a $\forall(P).$ Básicamente, estamos pensando en $\forall$ es una función de $\mathrm{Predicates} \rightarrow \mathbb{B}$, que acepta un predicado $P$, y devuelve un truthvalue $\forall(P),$, lo cual es cierto iff $P$ devuelve true en todas las entradas posibles. Así que, en cierto sentido, la expresión $\forall x Px,$ siendo esencialmente el mismo que $\forall(P),$ todavía implica la evaluación. Prefiero tener algo más parecido a $\forall \circ P,$ lo que eso significa.

En resumen, tengo la curiosidad de saber: ¿es posible encontrar matemáticas en una forma que no tiene absolutamente ningún uso de la evaluación o de la adhesión, incluso en el nivel de la lógica?

Answer 1

Ok, así que, básicamente, ahora creo que entiendo lo que quería.

En realidad se puede utilizar ETCS como base la teoría (para ser exactos para tener una teoría que es totalmente equivalente a ZFC, que la mayoría de la gente considera que el básico fundamental de la teoría, usted necesita anuncio de otro axioma que desempeña el papel del axioma de reemplazo).

La idea de codificar todos los objetos de un (multisorted)-el primer fin de idioma de la siguiente manera:

• tipo de la teoría se interpretan como objeto (es decir, conjuntos) en la categoría;

• cada constante símbolo $c$ tipo $X$ se interpreta como un morfismos (es decir, una función) de tipo $c \colon \bullet \to X$ (aquí se $\bullet$ denotar el singleton);

• cada símbolo de función $f$ tipo $A \to B$ es sólo una de morfismos $f \in \mathbf{Set}(A,B)$;

• una relación $R$ tipo $A_1,\dots,A_n$ se interpreta como subobjetos es decir, monomorphisms $r \colon R \hookrightarrow A_1 \times \dots \times A_n$.

Entonces toda la operación lógica puede ser codificados como operación sobre el objeto a través de los límites y colimits que se proporcionan en la categoría de conjuntos.

En tal marco de un término de tipo de $f(c)$ donde $f$ es un símbolo de función de tipo de $A \to B$ $c$ es una constante de tipo $X$, es el de morfismos $f \circ x \colon \bullet \to Y$, en tanto que es una constante.

La membresía puede ser codificado en una clase diferente de la forma.

La idea es que cada conjunto debe ser un subconjunto de algún tipo, lo que significa que queremos para identificar los conjuntos con los predicados unarios que los definen. El uso de este hecho podemos interpretar conjuntos de elementos de tipo $X$ monomorphism de tipo

$$p \colon P \hookrightarrow X$$

con esto en mente una constante $c \colon \bullet to X$ pertenecen a $P$ fib hay un morfismos en $\mathbf{Set}$, vamos a llamar a $\tilde x \colon \bullet \to P$ tal que $x = p \circ \tilde x$. De esta manera podemos definidas $x \in P$ como una abreviatura para $\exists \tilde x \colon \bullet \to P \ x = p \circ \tilde x$.

El hecho interesante acerca de toda esta construcción es que se puede hacer no sólo en la categoría de conjuntos,(es decir, en la teoría de ETCS), sino también en la teoría de cada categoría con suficiente estructura, por ejemplo, en todos los topos.

Creo que se podría encontrar interesantes los siguientes enlaces

• categórica semántica
• topos
• la lógica interna

acerca de ETCS usted puede encontrar interesante este artículo de Leinster.

Edit: Una información adicional, cuando se trata con la axiomática de la teoría de ETCS se puede evitar el uso de la función de símbolo $\circ$ y utilizar en lugar de una relación ternaria $\circ(x,y,z)$ el cual debe ser interpretado como $z$ es el compuesto de $x$ $y$ (es decir, como $y \circ x = z$). Entonces usted tiene que reformular todos los otros axiomas de la categoría con este ternario relación (los axiomas de asociatividad, la identidad de aquellos que dicen cuando la composición tiene sentido). En dicha teoría se puede construir términos a través de la composición, por lo que no tiene ninguna aplicación de funciones. Por supuesto, usted puede reintroducir aplicación/composición como simbólico de la abreviatura de las fórmulas de construir a partir de la $\circ(x,y,z)$ con las conectivas.