He aquí cómo usted puede conseguir un contraejemplo para $n>2$ suponiendo que la hipótesis continua. Tenga en cuenta que si $A\subseteq\mathbb{R}^n$ es la ruta de acceso conectados e $x,y\in A$, hay un camino conectado cerrado subconjunto $B\subseteq A$ contiene $x$ $y$ (es decir, la imagen de un camino entre ellos). Así, por $f$ trayectoria-conectado, basta para $f(A)$ trayectoria-conectado siempre a $A$ es un cerrado trayectoria-conectado subconjunto de $\mathbb{R}^n$.
Esto es muy útil, porque sólo hay $\mathfrak{c}$ diferentes subconjuntos cerrados de $\mathbb{R}^n$. En primer lugar, partición de $\mathbb{R}^n$ a $\mathfrak{c}$ conjuntos de $(S_\alpha)_{\alpha<\mathfrak{c}}$, cada uno de los cuales se cruza cada camino cerrado conectado subconjunto con más de un punto en $\mathfrak{c}$ puntos (usted puede hacer esto mediante la inducción de la longitud de la $\mathfrak{c}$, donde en el $\alpha$th etapa de agregar un punto de la $\gamma$th camino cerrado-conjunto conectado a $S_\beta$ todos los $\beta,\gamma<\alpha$). También, enumerar todos cuádruples $(A,x,y,u)$ donde $A$ es un camino conectado subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^n$, $x,y\in A$, y $u\in\mathbb{R}^n$ con el fin de tipo $\mathfrak{c}$.
Ahora defina $f$ por una inducción de la longitud de la $\mathfrak{c}$. En el $\alpha$th fase de la inducción, queremos definir $f$ $\{x,y\}\cup (A\cap S_\alpha)$ tal que $f(A\cap S_\alpha)$ contiene un buen camino de $f(x)$ $f(y)$donde $(A,x,y,u)$ $\alpha$th cuádruple en nuestra enumeración. Para ello, necesitamos el siguiente lema (aquí es donde hacemos uso de la CH y el hecho de que $n>2$):
Lema: Vamos a $n>2$, vamos a $a,b\in \mathbb{R}^n$ y deje $g_1,g_2,\dots:[0,1]\to\mathbb{R}^n$ ser una contables de la colección de vías lisas y $c_1,c_2,\dots\in\mathbb{R}^n$ ser una contables colección de puntos distintos de $a$$b$. Entonces no es un buen camino de $a$ $b$que no se cruza con ninguna de las $g_i$, excepto posiblemente en a $a$ o $b$ y no pasa a través de cualquiera de las $c_i$.
Para aplicar este lema, vamos a $a=f(x)$ $b=f(y)$ (podemos tener ya definidos estos valores de $f$; si no, se definen arbitrariamente a ser algunos de los puntos que no están en la imagen de $f$), dejar que el $g_i$ ser la suave caminos que ya han sido definidos para ser la imagen de $f$ (hay uno de estos caminos de cada etapa anterior, así que por CH, sólo hay countably muchos de esos caminos), y dejar que el $c_i$ ser los otros diversos puntos ya han sido definidos para ser la imagen de $f$ (hay un número finito de estos puntos de cada etapa anterior, por lo que countably muchos en total por CH). Esto nos da un buen camino de$a$$b$, lo que nos puede hacer que la imagen de $f(A\cap S_\alpha)$ (a excepción de la countably muchos puntos de $A\cap S_\alpha$ donde podemos tener ya definidas $f$). Además, vamos a definir $f$ a un par de puntos más para asegurarse de $u$ está en el dominio y la imagen de $f$.
Al final de esta introducción, vamos a tener un camino conectado bijection $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$. Es fácil ver que podemos organizar para $f$ a ser discontinua (en el $\alpha$th etapa, somos libres de elegir cualquier bijection entre $A\cap S_\alpha$ y nuestro camino).
Queda por demostrar el Lema. Para ello, tenga en cuenta que el espacio de $P$ de todas las vías lisas de $a$ $b$es un completo espacio métrico en el natural $C^\infty$ topología. Para cada una de las $i$, vamos a $U_i$ el conjunto de suave caminos que no pasan a través de $c_i$. Para cada una de las $i$, vamos a $V_i$ el conjunto de vías lisas que no se intersecan $g_i$ si $a$ y/o $b$ es en la imagen de $g_i$, en cuyo caso se cruzan sólo en $a$ y/o $b$ y tienen diferentes derivados allí. A continuación, por el estándar de la transversalidad de la teoría (usando el hecho de que $n>2$), cada una de las $U_i$ $V_i$ es un abierto denso subconjunto de $P$. Por la categoría de Baire teorema, existe un elemento de a $P$ cada $C_i$$D_i$, y esta es nuestra ruta deseada.
Como nota final, espero que CH no es realmente necesario aquí. Sin embargo, no acabo de ver cómo probar una versión del Lema que trabaja para una colección de $<\mathfrak{c}$ rutas, en lugar de sólo para una contables de la colección de rutas de acceso. Esta pregunta MO parece relacionadas con este tema.
