Dejemos que $w$ sea un estado en el cociente C $^*$ -Álgebra $\ell_\infty / c_0$ (las secuencias acotadas son cociente de las secuencias convergentes a cero). Entonces el funcional $$ \mathrm{Tr}_w(A) = w ( \{ \frac{1}{\log (1+n)} \sum_{j=1}^n \lambda(n,A) \}_{n=1}^\infty ) $$ es una traza sobre el ideal de operadores compactos (sobre un espacio de Hilbert separable) tal que $\mu(n,A) = O(n^{-1})$ , $n \geq 1$ . Aquí $\lambda$ denota la secuencia de valores propios del operador compacto $A$ ordenados de manera que la secuencia de valores absolutos $| \lambda |$ es una secuencia decreciente, y $\mu$ denota la secuencia de valores singulares (valores propios del valor absoluto de $A$ ). Si $A_{\mathrm{harmonic}} = \mathrm{diag}(n^{-1})$ (cualquier operador diagonal con la serie armónica como diagonal) entonces $\mathrm{Tr}_w(A_{\mathrm{harmonic}})=1$ . Se trata de una regularización de la serie armónica.
Las trazas sobre los operadores compactos, pensando en los operadores compactos como generalizaciones no conmutativas de las secuencias convergentes a cero, forman procedimientos de suma sobre estos "no conmutativos". $c_0$ secuencias". El rastro $\mathrm{Tr}_w$ se denomina rastro de Dixmier, en honor al matemático francés Jacques Dixmier que lo describió en 1968. Ha sido popularizada por Alain Connes en su versión de Geometría no conmutativa (Academic Press, 1994). Las trazas de Dixmier no son las únicas trazas sobre el ideal de operadores compactos tales que $\mu(n,A) = O(n^{-1})$ y existen otros rastros $\varphi$ tal que $\varphi(A_{\mathrm{harmonic}}) = 1$ . Las trazas de Dixmier generalizan la regularización de residuos de la función zeta y la regularización del núcleo de calor de alta temperatura (o de corto tiempo). Así, la regularización de residuos de la función zeta no es la única posible.
Existen muchas trazas definidas sobre ciertos ideales además de la traza canónica sobre los operadores de clase de traza (los operadores de clase de traza son la versión no conmutativa de las secuencias sumables $\ell_1$ ). Se conocen resultados profundos sobre qué ideales admiten trazas no triviales, lo que se traduce en el significado de qué tasas de divergencia (de secuencias convergentes a cero) admiten un procedimiento de suma no trivial. Véase el libro "Singular Traces", De Gruyter 2012 (admisión de intereses creados: soy uno de los autores). La serie armónica, afortunadamente, admite una rica gama no trivial de procedimientos de suma. Contrasta con $\ell_p$ secuencias para $p > 1$ cuyos ideales asociados no tienen trazas no triviales, y las secuencias $O(n^{-p})$ , $p > 1$ cuyos ideales asociados tampoco tienen trazas no triviales.
