Cómo resolver tal problema basado en la serie?

Question

Me había dado este problema en serie por un amigo.

Si

$$y=\sqrt{4 + \sqrt[3]{4+\sqrt[4]{4+\sqrt[5]{4+\ldots}}}}$$

entonces, ¿cómo resolver tal problema.

No quiero la respuesta completa, más bien, ideas, hechos matemáticos, teoremas y relaciones, que me ayudara a resolverlo por mi cuenta.

Mis esfuerzos: yo pensaba que todo el asunto dentro de los corchetes debe ser un cuadrado perfecto, así que tenemos [$4~+$ algo] debe ser positivo cuadrado perfecto, pero eso sería como encontrar un trivial solución por el método de prueba y error, así que no sé cómo resolverlo.

También probé elevando al cuadrado y comprobar como esta $$y^2 - 4=\sqrt[3]{4+\sqrt[4]{4+\sqrt[5]{4+\ldots}}}$$

así que tenemos dos factores $y-2$$y+2$, pero aún así fue como el mismo método de prueba y error de la búsqueda de factores . Así puede ayudar alguno. Gracias de antemano.

Edit: La única interpretación razonable es la recurrencia $y_n=\sqrt[n]{4+y_{n+1}}$ (Gracias @par)

Answer 1

Demasiado largo para un comentario, para que

$\begin{array}\\ y &=\sqrt{4 + \sqrt[3]{4+\sqrt[4]{4+\sqrt[5]{4+...............}}}}\\ &=2\sqrt{1 + \frac14\sqrt[3]{4+\sqrt[4]{4+\sqrt[5]{4+...............}}}}\\ &=2\sqrt{1 + \frac14\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{1+\frac1{\sqrt[3]{4}}\sqrt[4]{4+\sqrt[5]{4+...............}}}}\\ &=2\sqrt{1 + \frac1{4^{2/3}}\sqrt[3]{1+\frac1{\sqrt[3]{4}}\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{1+\frac1{\sqrt[4]{4}}\sqrt[5]{4+...............}}}}\\ &=2\sqrt{1 + \frac1{4^{2/3}}\sqrt[3]{1+\frac1{4^{1/12}}\sqrt[4]{1+\frac1{\sqrt[4]{4}}\sqrt[5]{4+...............}}}}\\ &=2\sqrt{1 + \frac1{4^{2/3}}\sqrt[3]{1+\frac1{4^{1/12}}\sqrt[4]{1+\frac1{\sqrt[4]{4}}\sqrt[5]{4}\sqrt[5]{1+...............}}}}\\ &=2\sqrt{1 + \frac1{4^{2/3}}\sqrt[3]{1+\frac1{4^{1/12}}\sqrt[4]{1+\frac1{4^{1/20}}\sqrt[5]{1+...............}}}}\\ \end{array} $

Parece hay un patrón de $\dfrac1{4^{1/n-1/(n+1)}} =\dfrac1{4^{1/(n(n+1))}} $ que podría hacer más fácil para obtener una solución de la recurrencia.

Y, por supuesto, $4$ puede ser reemplazado por cualquier valor, probablemente preferiblemente un cuadrado.