¿Matriz jacobiana singular?

Question

Tengo una serie de preguntas, en diversos grados de confusión confusa (y están relacionadas con mis preguntas anteriores: este y este )

Primera pregunta: ¿cómo hago un cambio de variable si el determinante del jacobiano es singular?

El escenario de esta pregunta es el siguiente: Tengo una $n$ -variable aleatoria gaussiana estándar dimensional $u \sim N(0,I)$ y un $v \in \mathbb{R}^n$ . A continuación defino la variable aleatoria $$z = u - \frac{u^Tv}{v^Tv}v$$ y me gustaría derivar una densidad para $z$ . Entonces el Jacobiano: $$\frac{dz}{du} = I - \frac{vv^T}{v^Tv}$$ que resulta ser singular y por tanto $|\frac{dz}{du}|=0$ . ¿Significa esto que intentar hacer un cambio de variable es fundamentalmente erróneo en este caso? ¿O hay alguna forma de hacerlo?

Segunda pregunta: Aparte del jacobiano, no estoy seguro de cómo cambiar una distribución normal estándar en $u$ a una distribución en $z$ . Por tanto, si la densidad en $u$ es $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-u^Tu/2)$$ ¿existe una función inversa $z^{-1}$ tal que $z^{-1}(z) = u$ ? Entonces (creo) $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-u^Tu/2) du = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-z^{-T}z^{-1}/2) \left|\frac{dz}{du}\right| du$$ Entonces, ¿existe tal $z^{-1}$ ? Y si la hay, ¿cuál es?

Tercera pregunta: en última instancia, estoy tratando de responder esta pregunta . ¿Estoy haciendo bien las dos preguntas anteriores? (La persona que ha respondido a mi pregunta dice algo sobre la medida de Haar de lo que nunca había oído hablar, así que no me resulta esclarecedor como prueba).

Answer 1

Creo que para la segunda pregunta... Si $f$ es la densidad de v.a. $u$ con $$f(u\;\vert\;\mu={\bf 0},\sigma={\bf I})$$ según la transformación $z$ entonces $$f(z\;\vert\;\tilde{\mu},\tilde{\sigma})=f\left(u(z)\;\vert\;\mu={\bf 0},\sigma={\bf I}\right)\left|\frac{\partial u}{\partial z}\right|$$ (respecto a $dz$ !!!)

P.D.: Disculpe mi inglés ;)