¿Contiene la lagrangiana toda la información sobre las representaciones de los campos en QFT?

Question

Dada la densidad lagrangiana de una teoría, ¿están determinadas de forma única las representaciones en las que se transforman los distintos campos?

Por ejemplo, dada la Lagrangiano para un campo escalar real $$\mathscr{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \varphi \partial^\mu \varphi - \frac{1}{2} m^2 \varphi^2 \tag{1}$$ con $(+,-,-,-)$ Convención de signos de Minkowski, es $\varphi$ de alguna manera restringido ¿es un escalar, por el solo hecho de que aparece en esta forma particular en el Lagrangiano?

Otro ejemplo: considere el lagrangiano $$\mathscr{L}_{1} = -\frac{1}{2} \partial_\nu A_\mu \partial^\nu A^\mu + \frac{1}{2} m^2 A_\mu A^\mu,\tag{2}$$ que también puede ser emitido en la forma $$\mathscr{L}_{1} = \left( \frac{1}{2} \partial_\mu A^i \partial^\mu A^i - \frac{1}{2} m^2 A^i A^i \right) - \left( \frac{1}{2} \partial_\mu A^0 \partial^\mu A^0 - \frac{1}{2} m^2 A^0 A^0 \right). \tag{3}$$ He escuchado que $^{[1]}$ que este es el Lagrangiano para cuatro campos escalares masivos y no el de un campo masivo de espín 1. ¿Por qué? Entiendo que produce un Klein-Gordon ecuación para cada componente del campo: $$( \square + m^2 ) A^\mu = 0, \tag{4}$$ pero por qué esto me impide considerar $A^\mu$ ¿un campo masivo de espín 1?

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[1]: De la obra de Matthew D. Schwartz La teoría cuántica de campos y el modelo estándar , p.114:

Una conjetura natural para el lagrangiano de un campo masivo de espín 1 es $$\mathcal{L} = - \frac{1}{2} \partial_\nu A_\mu \partial_\nu A_\mu + \frac{1}{2} m^2 A_\mu^2,$$ donde $A_\mu^2 = A_\mu A^\mu$ . Entonces las ecuaciones de movimiento son $$( \square + m^2) A_\mu = 0,$$ que tiene cuatro modos de propagación. De hecho, este lagrangiano no es el lagrangiano para un campo amasivo de espín 1, sino el lagrangiano para cuatro campos escalares masivos, $A_0, A_1, A_2$ y $A_3$ . Es decir, hemos reducido $4 = 1 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1$ que no es lo que queríamos.

Answer 1

Lo que dijo Qmechanic en los comentarios es bastante sólido, "La lagrangiana (2) no está acotada por abajo porque el término cinético de $A_0$ campo tiene el signo equivocado, y por lo tanto la teoría no es física en primer lugar", pero creo que tu pregunta necesita un cambio de énfasis. Tu Lagrangiano nos permite construir cuatro ecuaciones de movimiento para cuatro campos que no interactúan. Que la energía cinética no esté acotada por debajo no importa para un clásico teoría de campos si no hay interacciones. Podemos decir que $A_\mu$ se transforma en un vector 4 de Minkowski. Pero no podemos hacer ninguna física clásica significativa con él porque cualquier sistema interactivo invariante de Lorentz sería inestable, y hay tienen para ser interacciones de algunos (para que podamos discutir la medición del campo utilizando sus efectos en otros campos, por ejemplo, en lugar de hablar sólo de él como un objeto teórico).

En el contexto de la QFT, sin embargo, tenemos que construir un producto interno semidefinido positivo (sobre el espacio de la función de prueba, esencialmente el conmutador del operador de creación/aniquilación tiene que ser positivo-semidefinido en el espacio de coordenadas del 4-momento) para que podamos construir un espacio de Fock, lo cual no podemos hacer para el Lagrangiano (2) incluso si no hay interacciones. Es decir, la QFT impone un requisito adicional incluso para un campo cuántico libre, que nos obliga a la ecuación de Proca o a la ecuación de Maxwell para el espín 1, porque además de una dinámica necesitamos también una interpretación de probabilidad para los observables (que es lo que nos da la estructura del espacio de Hilbert).

EDIT: Para las simetrías locales, si utilizamos un espacio vectorial n-dimensional en cada punto, entonces la estructura se define por las formas en que utilizamos la métrica u otras formas multilineales para construir un producto interno semidefinido positivo sobre el espacio vectorial en un punto. Si utilizamos la métrica para construir términos que pueden escribirse utilizando la métrica de Lorentz, como $g^{\mu\nu}A_\mu A_\nu$ entonces el campo en un punto puede tomarse como una representación vectorial del grupo de Lorentz; si utilizamos la métrica para construir multinomios en $A_{\mu\nu}$ Entonces tenemos un campo que tiene una estructura tensorial, etc. Si en lugar de ello introducimos un tensor bilineal constante diferente $h^{\alpha\beta}$ y utilizar la forma $h^{\alpha\beta}A_\alpha A_\beta$ entonces el campo es una representación vectorial de cualquier simetría $h$ tiene; si utilizamos algún multinomio de grado superior en los componentes $A_a$ , entonces el campo es un espacio de representación de cualquiera de las simetrías de ese multinomio de grado superior.

Recordando, sin embargo, que tenemos que tener una energía semidefinida positiva para la Física, lo que requiere trabajo cuando partimos de una métrica indefinida.

También hay un aspecto global del espacio de Hilbert, en el caso cuántico, que es no determinado por el Lagrangiano, al menos en la medida en que también hay que especificar el estado de vacío, un estado térmico o algún otro estado como estado de mínima energía.

Answer 2

Dejemos que $G = I \cup J \cup K$ . $G$ no puede escribirse como una unión de menos de esas. Por ejemplo, $G \not = I \cup J$ porque entonces tendríamos algo de $i \in I$ , $j \in J$ tal que $ij$ no está en $I$ ni $J$ . Primero demostraré que si $g \in I \cap J$ entonces $g \in K$ . Supongamos que $g \in (I \cap J) \, \backslash K$ . Entonces como tenemos algún elemento $k \in K \, \backslash \, (I \cup J)$ Veremos que $gk$ no puede estar en ninguno de $I,J,K$ , lo cual es una contradicción.

Ahora, define $\varphi : G \to K_4$ tomando $g \mapsto i$ si $g \in I \,\backslash\, (J \cup K)$ , $g \mapsto j$ si $g \in J \, \backslash\,(I \cup K)$ y definir $g \mapsto k$ de forma similar. Por último, dejemos que $\varphi$ toma $g \to 1$ si $g \in I \cap J \cap K$ .

Lo único que queda es demostrar que $\varphi$ es efectivamente un homomorfismo. Si $g_1 \in I \, \backslash (J \cup K)$ , $g_2 \in J \, \backslash (I \cup K)$ entonces $g_1 g_2$ no está en $I$ ni $J$ , por lo que debe estar en $K$ por $G = I \cup J \cup K$ . Entonces $\varphi(g_1 g_2) = k = ij = \varphi(g_1)\varphi(g_2)$ . Si $g_1 \in I \, \backslash (J \cup K)$ y $g_2 \in I \cap J \cap K$ entonces está claro que $g_1 g_2 \in I \, \backslash \,(J \cup K)$ . Así, $\varphi(g_1 g_2) = i = i(1) = \varphi(g_1)\varphi(g_2)$ . Los demás casos son similares.