Fibonacci $\equiv -1 \mod p ^ 2$

Question

Hay un primer $p > 3$ que el número Fibonacci $F_{pn} \equiv -1 \mod p^2$ para algún número natural $n$? Sé que ninguno de los primeros $1000$ de los números primos $> 3$ calificar.

EDIT: En respuesta a Calvin Lin comentario: Supongamos $n$ es el período mod $p$. Por supuesto, el período mod $p^2$ es múltiplo de $n$. Si $M = \pmatrix{1 & 1\cr 1 & 0\cr}$, por lo que $M^k = \pmatrix{F_{k+1} & F_k\cr F_k & F_{k-1}\cr}$, que dice $M^n \equiv I \mod p$, entonces $M^n \equiv I + p A \mod p^2$ para algunos de la matriz $A$ con las entradas en $\mathbb Z_p$. Entonces $M^{kn} \equiv I + k p a \mod p^2$. Si $a = 0$, el período mod $p^2$ es $n$, de lo contrario es de $pn$.

Tenga en cuenta que $n$ divide a $p-1$ (si $p \equiv \pm 4 \mod 5$) o $2p+2$ (si $p \equiv \pm 3 \mod 5$), y en cualquier caso es coprime $p$. Por lo tanto, si el período mod $p^2$ no $pn$, $p$ debe ser una de Fibonacci-Wieferich prime (ver Noam Elkies de respuesta).

Answer 1

El conjunto de los números primos $p$ es probablemente infinito, pero muy escasa, y no hay $p < 2 \cdot 10^{14}$.

Nos muestran que $p$ debe ser un "Fibonacci-Wieferich prime", es decir, un primer para que $F_k \equiv 0 \bmod p^2$ $k \no\equiv 0 \bmod p$; como el común de Wieferich de los números primos (números primos tales como $1093$ y $3511$ para que $2^p \equiv 2 \bmod p^2$), el número de p $\leq x$ se espera para crecer como $\log \log x$ como $x \rightarrow \infty$. Por el contrario, cualquier Fibonacci-Wieferich primer $p$ admitir una congruencia $F_{pn} \equiv -1 \bmod p^2$.

Supongamos que $p>5$. Recordemos que $F_m = (\varphi^m - \overline\varphi^m) / \sqrt{5}$, donde $\varphi, \overline\varphi = (1 \pm \sqrt5) / 2$ con $\varphi \overline\varphi = -1$. Por lo tanto, si $F_m \equiv -1 \bmod p^2$, entonces $\varphi^m \bmod p^2$ es una raíz de $X^2 + \sqrt5 \, X - (-1)^m = 0$. Por lo tanto, si $m$ es impar, entonces $$ \varphi^m = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} = -\varphi \ \ \text{o} \ \ \varphi^{-1}, $$ mientras que si $m$ es incluso entonces $$ \varphi^m = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} = -\varphi^2 \ \ \text{o} \ \ -\!\varphi^{-2}. $$ [Incluso este caso es donde debemos suponer $p \neq 3$, porque el discriminante de $X^2 + \sqrt5 \, X - 1$ es $9 \equiv 0 \bmod 3$, por lo que $\phi^m$ puede ser congruentes a uno de sus raíces sólo modulo 3 pero aún así satisfacer la ecuación cuadrático módulo 9.] Por lo tanto, si $m$ es impar entonces $\varphi^{m+1}$ o $-\varphi^{m-1}$ es $1 \bmod p^2$, mientras que si $m$ es incluso entonces $-\varphi^{m+2}$ o $-\varphi^{m-2}$ es $1 \bmod p^2$. En cada uno de estos cuatro casos, entonces, si $m=np$ entonces $\varphi^k \equiv 1 \bmod p^2$ para algunos $k$ que no es un múltiplo de $p$ (es decir, $k = m+1$, $2m-2$, o $2m\pm 4$). Esto hace que $p$ de Fibonacci-Wieferich prime. El papel

Richard J. McIntosh y Eric L Roettger: Una búsqueda de Fibonacci-Wieferich y Wolstenholme de los números primos, De matemáticas. de la Computación 76 #260 (2007), 2087-2094.

explica por qué esperamos que el $\log \log x$ comportamiento, y los informes búsqueda exhaustiva de más de $p < 2 \cdot 10^{14}$ que vino vacías.

soluciones $m$ de $F_m \equiv -1 \bmod p^2$ debe incluir múltiplos de $p$.

Por el contrario, si $p$ es una de Fibonacci-Wieferich prime entonces existe algún incluso $k \no\equiv 0 \bmod p$ tal que $\varphi^k \equiv 1 \bmod p^2$. (Si el más pequeño de $k$ era extraño, a continuación, haga doble). Por "Resto Chino" $k$ tiene un múltiplo de $k' \equiv 1 \bmod p$ y $k$ es nuevo, incluso con $\varphi^{k} \equiv 1 \bmod p^2$. Por lo tanto $F_{pn} \equiv -1 \bmod p^2$ con $np = k'-1$ impar, QED.

Answer 2

Una de Fibonacci-Wieferich prime, también conocido como un Muro de-Sol-Sol prime no es posible.

Cómo tener en cuenta el aspecto característico de $p_2$?

Deje de $F_u$, $u > 0$, ser el más pequeño de Fibonacci número divisible por el primer $p$.

El subíndice $u$ es llamado el rango de aparición de $p$, y sabemos que es un factor de, o igual a, $p–1$ o $p+1$. (Vajda)

Para facilitar la notación de dejar que $q$ igual $p$ menos el símbolo de Legendre, por lo que $p \mediados de F_q$.

Para algunos divisor $r \geq 1$, $p$ dividir un número Fibonacci, $p \mid F_{p/r}$.

Por $p^2$, de la misma manera obtenemos $p^2 \mid F_{pq}$.

Para el mismo divisor $r\geq 1$, $p^2$ también dividir un número Fibonacci: $p^2 \mid F_{pq/r}$.

La lista siguiente de la relación de $r$ es idéntico para ambos $p$ y $p^2$.

p   q   r  n
7   8   1  56 
11  10  1  110 
13  14  2  91 
17  18  2  153 
19  18  1  342 
23  24  1  552 
29  28  2  406 
31  30  1  930 
37  38  2  703 
41  40  2  820 

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• El rango de aparición de $p$, es la periodicidad, la divisibilidad de los números de Fibonacci por el $$n-ésimo primo. - Richard R. Forberg, 26 de enero de 2014 http://oeis.org/A001602

• La Relación de la época Modulo $m$ para el Rango de Aparición de los $m$ en la Secuencia de Fibonacci Juan Vinson, de Fibonacci Quarterly, vol 1 (1963), páginas 37 a 45

Para el mayor de divisibilidad de los números de Fibonacci por los poderes de un prime: $p \geq 3$, $n \geq 2$, $k \geq 0$, $u$ es igual rango, $p^n \mid F_{ukp^{n-1}}$.

Posteriormente, para $n=2$ y $k=1$ obtenemos $p^ 2 \mid F_{up}$.

El rango de aparición de $p$, $u$, multiplicado por $p$, indica la apariencia de los primeros $p^2$ en la secuencia de Fibonacci.

• $pu > q$.
• $q \nmid pu$, $u < q$, $u > 1$.

$F_{pu}$ no es un múltiplo de $F_q$, lo que debe ser si $p^2$ es dividir $F_q$ y $F_{pu}$.

El rango de aparición de $p$, $u$, se produce sólo una vez para cada característica principal.

Todas las soluciones a $F_m \equiv 0 \pmod{n^1}$ dada por $m \equiv 0 \pmod{n^0 u_n}$. (Vajda, p. 73.)

Todas las soluciones a $F_m \equiv 0 \pmod{n^2}$ dada por $m \equiv 0 \pmod{n^1u_n}$.

Todas las soluciones a $F_m \equiv 0 \pmod{p^2}$ dada por $m \equiv 0 \pmod{p^1u_p}$.

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Calvin Lin escrito anteriormente que:

He aquí un interesante conjetura: Si el período de $\operatorname{mod} p$ es $n$, entonces el período de $\operatorname{mod} p^2$ es $np$. Tener el período $\operatorname{mod} p^2$ ser un múltiplo de $p$ es una condición necesaria, pero no suficiente, condición para la que no existen tales números primos.

El período de $\operatorname{mod} p^1$ siempre $np^0$, y el período de $\operatorname{mod} p^2$ es $np^1$.