Una simple biyección entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^4$ o $\mathbb{R}^n$ ?

Question

Cómo formar una biyección a partir de $(0,1]$ a $\mathbb{R}$ :

$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2-\frac{1}{x}&\text{if }x\in(0, .5]\\ \frac{2x-1}{1-x}&\text{if }x\in(.5, 1]. \end{array}\right.$$

Así que, para pasar de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^4$ no debería ser tan difícil... Primero convertimos todos los $\mathbb{R}$ en una representación decimal. Los números tienen entonces la forma $$a_1a_2a_3a_4\ldots$$   Donde el $a_i$ s son los dígitos $0$ , $1$ , $2,\ldots,9$ . 

En algún momento hay un punto decimal, supongamos que precede al $a_j$ dígito (podría ser el primero)

Elimine todas las representaciones duplicadas:   $3.41=3.4099999\ldots$ y $0002 = 2$ eligiendo el que tenga menos dígitos. 

Ahora asigna las representaciones restantes a $$( a_1a_5a_9\ldots, a_2a_6a_{10}\ldots, a_3a_7a_{11}\ldots, a_4a_8a_{12}\ldots)$$

Ponga un punto decimal en cada uno de ellos que preceda al $a_j$ , $a_{j+1}$ ,  $a_{j+2}$ y  $a_{j+3}$ dígitos.

Pero esto no es biyectivo. Sé que tal mapeo existe, pero no quiero una prueba de existencia, quiero un mapeo escalable que pueda utilizar.

¿Hay alguna modificación que pueda hacer para que sea biyectiva?

Answer 1

Dejemos que $f$ sea cualquier biyección de $\mathbb{R}$ a $P(\mathbb{N})$ (la más sencilla que se me ha ocurrido utiliza fracciones continuas, por ejemplo, véase aquí ). Para construir una biyección desde $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^n$ tomar $$g_i(A) = \left\{ \left.\frac{x-i}{n} \right|\ x\in A, x =i\ (\mathrm{mod}\ n) \right\}$$ y establecer $$h_i = f^{-1} \circ g_i \circ f$$ y luego $$h(x) = \langle h_0(x), h_1(x), \ldots, h_{n-1}(x) \rangle$$ será su bijuicio.