Combinando las respuestas dadas por mí y Ralth a la pregunta de probabilidad en Pregunta de probabilidad obtenemos la siguiente identidad: $$ \sum\limits_ {k = m}^n {{n \choose k}p^k (1 - p)^{n - k} {k \choose m} p_j^m (1 - p_j )^{k - m} } = {n \choose m} (p p_j)^m (1 - p p_j)^{n-m}, $$ donde $m \geq 0$ y $n \geq m$ son números enteros arbitrarios, y $p$ y $p_j$ son probabilidades arbitrarias (en la notación de Ralth $m$ es $k$ , $p$ es $p_s$ y $p_j$ es $p_h$ ). ¿Puede probar esta identidad directamente (es decir, en un entorno no probabilístico)? Tanto si encuentras esta identidad interesante como si no, al menos la respuesta de Ralth puede ahora obtener su debido reconocimiento.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Podemos probar esto usando el Teorema del Multinomio .
Tenemos, usando el Teorema Multinomial, que
$$ \displaystyle (a+b+c)^n = \sum_ {m=0}^{n} \sum_ {k=m}^{n} {n \choose k}{k \choose m} a^m b^{k-m} c^{n-k}$$
Set $ \displaystyle a = pp_j x$ , $b = p(1-p_j)$ , $c = 1-p$ .
Tenemos
$$ \displaystyle (pp_jx + p(1-p_j) + 1-p )^n = \sum_ {m=0}^{n} \sum_ {k=m}^{n} {n \choose k}{k \choose m} (pp_jx)^m (p(1-p_j))^{k-m} (1-p)^{n-k}$$
es decir.
$$ \displaystyle (pp_jx + 1 - pp_j)^n = \sum_ {m=0}^{n} \sum_ {k=m}^{n} {n \choose k}{k \choose m} p_j^m(1-p_j)^{k-m} p^{k}(1-p)^{n-k} x^m$$
Expandiendo el lado izquierdo usando el teorema del binomio y comparando los coeficientes de $ \displaystyle x^m$ da el resultado.
John Fouhy
Puntos
759
Considere el siguiente proceso de dos pasos: Empieza con $n$ elementos. Escoge cada uno con probabilidad $p$ . Entre los $k$ elementos escogidos en la primera fase, escoge cada uno con probabilidad $p_j$ . El lado izquierdo describe la probabilidad de que el conjunto final sea de tamaño $m$ .
También podemos calcular esta probabilidad directamente: cada elemento es elegido hasta el conjunto final con probabilidad $pp_j$ de donde el lado derecho.
Mingo
Puntos
126
Escribiendo el lado izquierdo como $$ \sum\limits_ {k = 0}^{n - m} {{n \choose k + m} p^{k + m} (1 - p)^{n - (k + m)} {k + m \choose m} p_j^m (1 - p_j )^{k + m - m} } $$ encontramos, después de algo de álgebra, que la ecuación original es equivalente a $$ \sum\limits_ {k = 0}^l {{l \choose k}p^k (1 - p)^{l - k} (1 - p_j )^k } = (1 - pp_j )^l , $$ donde $l (=n-m) \geq 0$ . Desde el caso $p=0$ está satisfecho ( $0^0=1$ ), asumimos que $p = x/y$ con $0 < x \leq y$ . La sustitución de esto lleva directamente a la ecuación equivalente $$ \sum\limits_ {k = 0}^l {{l \choose k}(x - x p_j)^k (y-x)^{l-k} = (y - xp_j)^l}. $$ Según el teorema del binomio, el lado izquierdo es igual a $[(x - xp_j ) + (y - x)]^l$ completando la prueba.
