Ideales en $B(H)$ son auto-adjoint

Question

Es sabido que cada (cerrado a dos caras) ideal en un $C^{*}$-álgebra es auto-adjunto. Las pruebas que he visto implican funcional cálculo aproximado de las unidades. Me pregunto si hay un enfoque más directo en el caso particular de $B(H)$ (para un espacio de Hilbert $H$).

Answer 1

Deje $T\in J$ donde $J$ es un cerrado de dos caras ideal en $B(H)$. Considere la posibilidad de su polar decomposistion $T=U|T|$ donde $|T|=(T^*T)^{1/2}$. Claramente $T^*T\in J$, por lo que su raíz cuadrada $|T|$ $J$ (concedido, podemos utilizar alguna pequeña porción de la funcional de cálculo). Por lo tanto, $T^*=|T|U^*\in J$.

Edit: Como ya se ha comentado por Martin Argerami, esta prueba de obras para la norma cerrado ideales en cualquier álgebra de von Neumann.