Suponga $m>n$, que es más grande $(m!)^n$ o $(n!)^m$?
Esta pregunta surgió durante una serie de Taylor de la aproximación.
Teniendo en cuenta la trama de $(n!)^{1/n}$ y Stirling formula una conjetura más grande base de la gana.
Suponga $m>n$, que es más grande $(m!)^n$ o $(n!)^m$?
Esta pregunta surgió durante una serie de Taylor de la aproximación.
Teniendo en cuenta la trama de $(n!)^{1/n}$ y Stirling formula una conjetura más grande base de la gana.
El uso repetido de el hecho de $n!\leq n^n$ rendimientos
$$n!\cdot n!\cdots n!\lt (n+1)^n\cdot (n+2)^n\cdots (n+i)^n$$ for any $i\gt 0$, where there are $i$ términos en el lado izquierdo. Entonces tenemos
$$(n!)^i\lt \Big( (n+1)\cdots(n+i)\Big)^n$$
o, equivalentemente,
$$(n!)^i\lt \left( \frac{(n+i)!}{n!}\right)^n.$$
Reorganizar, este dice:
$$(n!)^{n+i}\lt (n+i)!^n$$
así que, si conocemos $m\gt n$ $m=n+i$ algunos $i\gt 0$, por lo que esto nos dice, finalmente, que
$$(n!)^{m}\lt (m)!^n$$
Considere la posibilidad de $m = n+1$. A continuación,$(m!)^n > (n!)^m$.
Prueba:
$$ \begin{eqnarray*} (m!)^n &=& ([n+1]!)^n \\ &=& (n+1)^n \cdot (n!)^n \\ &=& \frac{(n+1)^n}{ (n!) } (n!)^{n+1}\\ &=& \frac{(n+1)^n}{ (n!) } (n!)^{m}\\ \end{eqnarray*} $$ Ahora desde $n+1 > k$ todos los $k = 1, 2, \ldots, n$, está claro que $\frac{(n+1)^n}{n!} > 1$, lo que demuestra el resultado.
Una simple inducción, a continuación, se muestra si $m > n$, $(m!)^n > (n!)^m$ en general.
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