8 votos

Que es más grande $(n!)^m$ o $(m!)^n$?

Suponga $m>n$, que es más grande $(m!)^n$ o $(n!)^m$?

Esta pregunta surgió durante una serie de Taylor de la aproximación.

Teniendo en cuenta la trama de $(n!)^{1/n}$ y Stirling formula una conjetura más grande base de la gana.

40voto

rupps Puntos 151

El uso repetido de el hecho de $n!\leq n^n$ rendimientos

$$n!\cdot n!\cdots n!\lt (n+1)^n\cdot (n+2)^n\cdots (n+i)^n$$ for any $i\gt 0$, where there are $i$ términos en el lado izquierdo. Entonces tenemos

$$(n!)^i\lt \Big( (n+1)\cdots(n+i)\Big)^n$$

o, equivalentemente,

$$(n!)^i\lt \left( \frac{(n+i)!}{n!}\right)^n.$$

Reorganizar, este dice:

$$(n!)^{n+i}\lt (n+i)!^n$$

así que, si conocemos $m\gt n$ $m=n+i$ algunos $i\gt 0$, por lo que esto nos dice, finalmente, que

$$(n!)^{m}\lt (m)!^n$$

15voto

Adjit Puntos 172

Considere la posibilidad de $m = n+1$. A continuación,$(m!)^n > (n!)^m$.

Prueba:

$$ \begin{eqnarray*} (m!)^n &=& ([n+1]!)^n \\ &=& (n+1)^n \cdot (n!)^n \\ &=& \frac{(n+1)^n}{ (n!) } (n!)^{n+1}\\ &=& \frac{(n+1)^n}{ (n!) } (n!)^{m}\\ \end{eqnarray*} $$ Ahora desde $n+1 > k$ todos los $k = 1, 2, \ldots, n$, está claro que $\frac{(n+1)^n}{n!} > 1$, lo que demuestra el resultado.

Una simple inducción, a continuación, se muestra si $m > n$, $(m!)^n > (n!)^m$ en general.

0voto

Rowley Puntos 64

Cuenta la proporción y la compara a la unidad.

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