El seno y el Coseno de Expansión Problema

Question

Sabemos que: $$\sin{x} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^3}{5!}-\dotsb$$ y así sucesivamente. También, $$\cos{x} = 1 - \frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!}-\dotsb$$ y así sucesivamente.

Con la ayuda de estas expansiones tenemos que demostrar que el $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ .

He intentado generalizar $\sin{x}$ $$\sum (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ y $\cos{x}$ $$\sum (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},$$ luego elevarlo al cuadrado y sumar. Pero no obtener a través de. Por favor, ayuda!

Answer 1

Creo que la forma más fácil de ver es de notar que $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$, con lo cual se comprueba fácilmente por la escritura de la expansión de Taylor de ambos lados. Entonces

$$\sin^2(x)+\cos^2(x)=e^{ix}e^{-ix}=1$$

Si desea comprobar la $f(y)=e^{y}e^{-y}=1$, aquí es cómo: primer espectáculo $\frac{d}{dx}e^y=e^y$ a partir de la serie de Taylor. A continuación, mostrar $f'(y)=f(y)-f(y)=0$ por la regla de la cadena. A la conclusión de $f(y)$ es una constante, y el enchufe de la $y=0$ conseguir $f(y)=1$.