$\gcd\left(\binom{2n}1,\binom{2n}3,\binom{2n}5,\ldots,\binom{2n}{2n-1}\right)$
quiero saber cual es la especialidad de dicha serie.no soy capaz de generalizar la solución del problema.hay alguna regla para dicho cálculo de gcd.
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user94529
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156
Utiliza $$(1+x)^{2n}=\binom{2n}0x^0+\binom{2n}1x^1+\binom{2n}2x^2+\binom{2n}3x^3+\binom{2n}4x^4+...+\binom{2n}{2n}x^{2n}$$ Primero sustituyendo $ x=-1$ $$0=\binom{2n}0-\binom{2n}1+\binom{2n}2...-\binom{2n}{2n-1}+\binom{2n}{2n}$$$$ \implies \binom{2n}0+\binom{2n}2+\binom{2n}4+...+\binom{2n}{2n}=\binom{2n}1+\binom{2n}3+\binom{2n}5+...+\binom{2n}{2n-1} $$ But substituting $ x=1 $, we have$$ \binom{2n}0+\binom{2n}1+\binom{2n}2+\binom{2n}3+\binom{2n}4+...+\binom{2n}{2n}=2^{2n} $$ $$ \implies\binom{2n}1+\binom{2n}3+\binom{2n}5+...+\binom{2n}{2n-1}=2^{2n-1} $$ Hence the gcd is a power of 2.. Now it is sufficient only study the powers of 2 present in the different terms. This will require some analysis and one way to begin would be assuming$ n=\suma2^{k} es decir,$ escribiendo el número en forma binaria.
Martin
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75
Siguiendo con la respuesta de user94529, ya que la suma $\sum_k \binom{2n}{2k+1} = 2^{2n-1}$ es una potencia de dos, habremos terminado si nos fijamos sólo en la mayor potencia de dos que los divide a todos. Experimentando un poco, parece que $\binom{2n}{1} = 2n$ tiene la menor potencia de 2 de todas.
Esto es lo que ocurre, si observamos $\binom{2n}{2k+1} = \frac{2n}{2k+1} \times \binom{2n-1}{2k}$ desde $2k+1$ es impar y $\binom{2n-1}{2k}$ es un número entero, obtenemos que la mayor potencia de 2 que divide a $\binom{2n}{2k+1}$ es mayor o igual que el de $2n$ .
Por lo tanto, si $n=2^j \times m$ donde $m$ es impar, entonces la respuesta es
$$ \gcd\left( \binom{2n}{1},\ldots,\binom{2n}{2n-1} \right) = 2^{j+1} $$
marty cohen
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33863
Como ha mostrado el usuario94529, el gcd es una potencia de 2.
Mirando sólo la primera legislatura, el gcd debe dividir $2n$ .
En particular, si $n$ es impar, el gcd es 2 o 1.
Ahora utilizo la respuesta a esta pregunta: ¿Coeficientes Binomiales Impares?
La respuesta de Arturo Magidin dice "Esto se deduce fácilmente del Teorema de Kummer, que la mayor potencia de un primo $p$ que divide $\binom{n}{m}$ es igual al número de "cargas" al sumar $n-m$ y $m$ en la base $p$ . En particular, $\binom{n}{m}$ es impar si y sólo si no hay arrastre al sumar en base $2$ ."
Ambos $2k-1$ y $2n-(2k-1)$ son impar, por lo que hay un acarreo cuando se suman en base 2. Por lo tanto, todos los $\binom{2n}{2k-1}$ están igualados.
Por lo tanto, si $n$ es impar, el gcd es 2.
Tal vez mirando el potencia de 2 que divide $n$ podríamos obtener un resultado para todos $n$ .
