Espectáculo $a^p \equiv b^p \mod p^2$

Question

Estoy en busca de una pista sobre este problema:

Supongamos $a,b\in\mathbb{N}$ tal que $\gcd\{ab,p\}=1$ primer $p$. Mostrar que si $a^p\equiv b^p \pmod p$, entonces tenemos: $$a^p \equiv b^p \pmod {p^2}.$$

He notado que las $a,b$ son necesariamente coprime a $p$ ya, y Fermat poco teorema ($x^p\equiv x \pmod p$), pero no veo cómo debo aplicar en este caso, si en todos.

Cualquier sugerencias se agradece!

Answer 1

Fermat Poco teorema debe ayudarle a mostrar $a\equiv b(\text{mod }p)$, punto en el cual usted tiene $a=b+pk$ algunos $k\in\mathbb{Z}$. Una aplicación del teorema del binomio a partir de aquí podría dar el resultado que usted busca.

Answer 2

Usted podría generalizar esta de más. Aquí está uno de los de Levantar el Exponente Lemas (LTE):

Definir $\upsilon_p(a)$ a ser el exponente de la más grande potencia principal de $p$ que divide $a$.

Si $a,b\in\mathbb Z$, $n\in\mathbb Z^+$, $a\equiv b\not\equiv 0\pmod{p}$, a continuación, $$\upsilon_p\left(a^n-b^n\right)=\upsilon_p(a-b)+\upsilon_p(n)$$

En su caso, por Fermat Poco teorema $a^p\equiv b^p\not\equiv 0\pmod{p}\iff a\equiv b\not\equiv 0\pmod{p}$, por lo $$\upsilon_p\left(a^p-b^p\right)=\upsilon_p(a-b)+\upsilon_p(p)=\upsilon_p(a-b)+1$$

Por lo tanto,$p^2\mid a^p-b^p$.