La topología en números enteros de lo que es un grupo topológico

Question

Hay no trivial topologías (ni discretas ni indiscreta) en el grupo aditivo de los enteros $\mathbb{Z}$, convirtiéndolo en un grupo topológico. Podría alguien de la lista de todos ellos, posiblemente con algunos detalles?

Answer 1

Para cualquier conjunto a $S$ de los números primos, la incrustación

$$\mathbb{Z} \to \prod_{p \in S} \mathbb{Z}_p$$

de $\mathbb{Z}$ en el producto correspondiente de los anillos de $p$-ádico enteros da una topología no trivial en $\mathbb{Z}$ generado por progresiones aritméticas de longitud $d$ donde todos los primos divisores de $D$ mentira en $S$. Todas estas topologías son diferentes. Al $S$ es todo el conjunto de los números primos, tenemos la topología inducida a partir de la profinite finalización, utilizado principalmente en Fürstenburg la prueba de la infinitud de los números primos.

Más generalmente, uno puede tomar la topología inicial con respecto a cualquier colección de cocientes $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ donde $n$ es de $S$ de los enteros positivos cerrado en tomar divisores y $\text{lcm}$s. (Es generado por progresiones aritméticas de longitud elegido de $S$.)