Si $f'$ tiende a una positiva límite de $x$ enfoques infinito, a continuación, $f$ enfoques infinito

Question

Hace algún tiempo, he pedido esta aquí. Forma restringida de la segunda pregunta podría ser este:

Si $f$ es una función con derivada primera continua en $\mathbb{R}$ y tales que $$\lim_{x\to \infty} f'(x) =a,$$ with $un\gt 0$, then $$\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.$$

Y he probado este para probarlo:

Existe $x_0\in \mathbb{R}$ tal que para $x\geq x_0$, $$f'(x)\gt \frac{a}{2}.$$ Existe $\delta_0\gt 0$ tal que para $x_0\lt x\leq x_0+ \delta_0$ $$\begin{align*}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)&\gt -\frac{a}{4}\\ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&\gt f'(x_0)-\frac{a}{4}\\ &\gt \frac{a}{2}-\frac{a}{4}=\frac{a}{4}\\ f(x)-f(x_0)&\gt \frac{a}{4}(x-x_0)\end{align*}.$$ Podemos suponer que $\delta_0\geq 1$. Si $\delta_0 \lt 1$, $x_0+2-\delta_0\gt x_0$ y, a continuación, $$f'(x_0+2-\delta_0)\gt \frac{a}{2}.$$ Ahora, existe $\delta\gt 0$ tal que para $x_0+2-\delta_0\lt x\leq x_0+2-\delta_0+\delta$ $$f(x)-f(x_0+2-\delta_0)\gt \frac{a}{4}(x-(x_0+2-\delta_0))= \frac{a}{4}(x-x_0-(2-\delta_0))\gt \frac{a}{4}(x-x_0).$$ Is clear that $x\in (x_0,x_0+2-\delta_0+\delta]$ and $2-\delta_0+\delta\geq 1$.

Por lo tanto, podemos tomar $x_1=x_0+1$. A continuación, $f'(x_1)\gt a/2$ y, a continuación, existen $\delta_1\geq 1$ tal que para $x_1\lt x\leq x_1+\delta_1$ $$f(x)-f(x_1)\gt \frac{a}{4}(x-x_1).$$ Tome $x_2=x_1+1$ y así sucesivamente. Si $f$ es acotado, $(f(x_n))_{n\in \mathbb{N}}$ es un aumento de la secuencia delimitada y por lo tanto tienen un convergentes larga. Por lo tanto, esto implica que la secuencia de $(x_n)$: $$x_{n+1}=x_n+1,$$ have a Cauchy's subsequence and that is a contradiction. Therefore $\lim_{x\to \infty} f(x)=\infty$.

Quiero saber si esto es correcto, y si hay una manera más sencilla de probar esto. Gracias.

Answer 1

Debido a que usted asume que $f$ tiene primera derivada continua en $\mathbb{R}$, no es una alternativa a la Media-teorema del valor, a saber, el teorema Fundamental del cálculo (el primero es muy útil para los casos en $f'$ no se asume continua). Así, a partir de $\lim _{x \to \infty } f'(x) = a > 0$, tenemos que existe $M > 0$ tal que $f'(x) > a/2$ cualquier $x \geq M$. Desde $f'$ es asumido continua, podemos aplicar el teorema Fundamental del cálculo para obtener $$ f(x) - f(M) = \int_M^x {f'(u)\,du} \ge \int_M^x {\frac{a}{2}\,du} = \frac{a}{2}(x - M), $$ para cualquier $x > M$. Desde el lado de la derecha va a la $\infty$ $x \to \infty$ (tenga en cuenta que $M$ es fijo), por lo que no $f(x) - f(M)$. Por lo tanto $ \lim _{x \to \infty } f(x) = \infty $.

EDIT: lo anterior fue sólo para dar una alternativa a la de la Media-teorema del valor de (utilizados en Amitesh Datta respuesta); su análogo para la Media-teorema del valor es la siguiente.

De $\lim _{x \to \infty } f'(x) = a > 0$, tenemos que existe $M > 0$ tal que $f'(x) > a/2$ cualquier $x \geq M$. Para cualquier $x > M$, ya que el $f$ es continua en el intervalo cerrado $[M,x]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(M,x)$, por la Media-teorema del valor existe $c = c(M,x) \in (M,x)$ tal que $$ f(x)-f(M)=f'(c)(x-M). $$ Desde $c \geq M$, $f'(c) > a/2 $, y por lo tanto $$ f(x)-f(M) \geq \frac{a}{2}(x - M). $$ La conclusión es como antes.

Nota: Como ya se ha indicado anteriormente, la prueba de la Media-teorema del valor tiene la ventaja de que funciona para cualquier función derivable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

Answer 2

SUGERENCIA $\ \ $ Escrito $\rm\ f\ =\ (f/x)\ x\ \ $ los rendimientos de un determinado límite (usando la regla de L'Hôpital), es decir,

$$\rm\displaystyle\quad \lim_{x\to\infty}\ f\ =\ \lim_{x\to\infty} \dfrac{f}x\ \lim_{x\to\infty}\ x\ =\ \lim_{x\to\infty}\dfrac{f\:\:'}{1\:\ }\ \lim_{x\to\infty}\ x\ =\ a\ \cdot \infty\ =\ \infty\quad by\quad a > 0$$

NOTA $\ $ a Continuación se dice L'Hospital de la regla, de Rudin $\:$ Principios de Análisis Matemático, $\:$ 1976. Arriba, yo uso la forma general de la $(15)$ de la $\rm \infty/\infty$ regla. Sólo se necesita que el denominador $\to\infty\:.$ más tales generalizaciones ver Mensual de los documentos citados aquí.

Answer 3

Hay una manera más sencilla de probar esto. (Pido disculpas, pero no he mirado en su solución; tal vez otro usuario comentario en este sentido.) Deje $M$ ser un entero positivo. Elegir un entero positivo $N$ tal que $x>N$ implica $f'(x)>\frac{a}{2}$. Si $y>\text{max}\{N,\frac{2(M-f(N))}{a}+N\}$, $y>N$ y el valor medio teorema implica que $f(y)-f(N)=f'(x_y)(y-N)$ para algún número real $N<x_y<y$. Además, $f(y)=f(N)+f'(x_y)(y-N)>f(N)+\frac{a(y-N)}{2}>M$ todos $y$. Desde $M$ fue arbitraria, se deduce que el $\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$.

Answer 4

Después de la lectura de algunas de las otras respuestas, pensé que podría ser útil para reformular Shai Covo la respuesta en más física idioma: supongamos que, en lugar de $y = f(x)$ tenemos $x = x(t)$, la función de posición de una partícula en el tiempo $t$. (Por supuesto, esto no hace ninguna diferencia matemática de lo que nosotros llamamos las variables...)

La hipótesis es que la velocidad de la función de $x'(t)$ se aproxima a un valor límite $v_0 > 0$ $t$ enfoques infinito. Por tanto, debe existir un $t_0 \in \mathbb{R}$ tal que para todo $t \geq t_0$, $v(t) \geq \frac{v_0}{2} > 0$. Por tanto, comparar la posición de la función de $x(t)$ a de la siguiente forma:

$$y(t) = \frac{v_0}{2}\left(t-t_0\right) + x(t_0).$$

Observamos:

1) $y(t)$ es una función lineal con pendiente positiva, por lo que, ciertamente,$\lim_{t \rightarrow \infty} y(t) = \infty$.

2) $x(t_0) = y(t_0)$ $x'(t) \geq y'(t)$ todos los $t \geq t_0$.

Así, en el intervalo de tiempo $[t_0,\infty)$, la partícula $x = x(t)$ comienza en la misma posición de la partícula $y = y(t)$ y para todas las épocas $t$ la velocidad instantánea de la primera partícula es siempre mayor o igual a la de la segunda partícula. Por lo tanto físicas intuición nos dice que debemos tener $x(t) \geq y(t)$ todos los $t \geq t_0$, y, por tanto,$\lim_{t \rightarrow \infty} x(t) = \infty$.

Cómo hacer de este riguroso? La sustitución de $x(t)$$y(t)$$x(t) - y(t)$$0$, lo que debemos mostrar es que una función no negativa en un punto de $t_0$ y en todas partes no negativo derivado de la misma es no negativo para todos los $t \geq t_0$. Pero ahora podemos tomar nuestra selección de matemática justificaciones para ello: si asumimos que la derivada es continua (como el OP no), a continuación, $x(t) = \int_{t_0}^t x'(t) dt$ y la integral de una no-negativo de la función es, ciertamente, no negativo, siendo un límite de no-negativo de las sumas de Riemann. O, de hecho, si asumimos que existe $t_1 > t_0$ tal que $x(t_1) < x(t_0)$ y aplicar el Valor medio Teorema, entonces tenemos

$$x(t_1) - x(t_0) = x'(c) (t_1-t_0).$$

El lado izquierdo es negativo y el lado derecho es no negativo: contradicción!

En resumen, el razonamiento físicamente en un matemáticamente de manera cuidadosa nos reduce a una declaración en la que es fácil demostrar matemáticamente.

Como una observación, algunos educadores han sugerido que este caso especial del Valor medio Teorema (llamado el Valor de la Media de la Desigualdad, el Aumento de Teorema de la Función, y así sucesivamente) es, de hecho, más intuitivo que el Valor medio Teorema y han propuesto que el desarrollo del cálculo a su alrededor. En mis experiencias de la enseñanza de cálculo he encontrado que es útil para señalar explícitamente este caso especial de la MVT, pero de eso se trata: el MVT es también (más) útil y no mucho más amarga píldora...

Answer 5

Voy a tratar de demostrar que es una manera diferente de la que puede ser mucho más sencillo el uso de la visualización.

Imaginar cómo será una función de buscar si tiene una constante, la pendiente positiva -
Una línea recta, con un ángulo positivo con el eje x positivo.
Aunque esto puede ser imaginado, estoy adjuntando un simple pic -
(Parcela de nuestra función imaginativa - $f(x)$ vs $x$)

Como por la situación en la pregunta, por lo $f(x)$ la pendiente que existe (y es finito) en todos los puntos, lo que significa que la función es continua. Ya que la pendiente es constante en $\infty$, $f$ tiene que ser lineal en $\infty$. Por lo tanto, la gráfica de la función debe ser similar a la del gráfico anterior.
(suponga que el valor de x sea tan grande como pueda imaginar.)

Por lo tanto, poner la situación anteriormente descrita matemáticamente, tenemos,

Si $\lim_{x\to \infty}\ f'(x) =a\qquad(with\ a>0)$

a continuación, $\lim_{x\to\infty}\ f(x)=\infty.$