En representación de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ matriz del grupo.

Question

Ella me contó que $G = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es una verdadera matriz del grupo.

Alguien me puede ayudar a entender cómo se representa la $G$ $Gl_n(\mathbb{R})$ algunos $n$?

(Supuestamente, $n = 1$? Pero eso es confuso, porque entonces G es [0,1) con una estructura modular, además del grupo de operación, que no parece un grupo de matrices para mí.)

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Gracias! -Dan

Answer 1

$$\theta \to \begin{pmatrix} \cos(2 \pi \theta) & \sin(2 \pi \theta) \\ -\sin(2 \pi \theta) & \cos(2 \pi \theta) \end{pmatrix}$$

Answer 2

Tal vez ella o él significaba $ℝ/ℤ \cong

Answer 3

En realidad, hay una buena razón para su confusión. El mapa de grupos de $\mathbb R \to \mathbb R/\mathbb Z \to \mathrm{GL}(2,\mathbb R)$ $t \mapsto \bigl( \begin{smallmatrix} \cos 2\pi t& \sin 2\pi t\\ -\sin 2\pi t& \cos 2\pi t\end{smallmatrix}\bigr)$ no es algebraico, en el sentido de que no es dada por funciones polinómicas. A menudo en la teoría de la matriz de los grupos, es interesante preguntarse sólo para representaitons que son algebraicas. El grupo $(\mathbb R,+)$ puede ser representado en forma algebraica, por $t \mapsto \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)$, pero no algebraicas representación de $\mathbb R$ puede tener kernel $\mathbb Z$ (desde $\mathbb Z$ no es la desaparición de locus de un polinomio). Por lo tanto, desde el punto de vista algebraico de grupos, no es un grupo "$\mathbb R/\mathbb Z$". Lo que hay es un grupo que se llama $\mathrm{U}(1) = \mathrm{SO}(2,\mathbb R)$, que es igual a $\mathbb R/\mathbb Z$ (suave) del grupo, pero es algebraico. Se define como el grupo de bienes de las matrices de la forma $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b \\ -b & a \end{smallmatrix}\bigr)$ satisfacción $a^2+b^2 = 1$, con el entendimiento de que "polinomio" significa "polinomio en $a$ $b$" en lugar de "polinomio en $\arccos(a) = \arcsin(b)$".

Por supuesto, una segunda buena razón para que su confusión es que la $\mathrm{GL}(1,\mathbb R) = \mathbb R \smallsetminus\{0\}$ es unidimensional, y no puede recibir un trivial grupo mapa del círculo. (Se puede pensar de $\mathbb R \smallsetminus \{0\}$ como un grupo de pares $(t,s)$ satisfacción $ts = 1$, y luego un "polinomio" significa cualquier polinomio de la función en $t$$s$.) Lo que usted puede haber oído era que el círculo de $\mathbb R / \mathbb Z$ tiene una dimensión compleja representación de la matriz: $\mathrm{GL}(1,\mathbb C) = \mathbb C \smallsetminus \{0\}$ y usted puede utilizar el (nonalgebraic) representación $t \mapsto \exp(2\pi i t)$ $\mathbb R \to \mathrm{GL}(1,\mathbb C)$ con kernel $\mathbb Z$.