Homología y cohomology de 7-colector de

Question

Tengo el siguiente problema:

Deje $M$ ser conectado cerrado $7$-colector tal que $H_1(M,\mathbb{Z}) = 0$, $H_2(M,\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}$, $H_3(M,\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/2$. Calcular $H_i(M,\mathbb{Z})$ $H^i(M,\mathbb{Z})$ todos los $i$.

Sé que si $M$ es orientable, mediante la dualidad de Poincaré, el hecho de que $\chi(M)=0$ y la secuencia exacta para $H^i(M,\mathbb{Z})$ puedo conseguir el resultado.

Pero, no sé cómo demostrar que $M$ es orientable. Yo sé que es el caso si $M$ no ha $2$-torsión en $\pi_1(M)$, pero no veo por qué esto $2$-torsión deben descender a $H_1(M)$.

Answer 1

Conectado el colector $M$, hay un homomorphism $\pi_1(M)\to\mathbb{Z}/2$ que envía un bucle a $0$ si va alrededor del bucle conserva la orientación y envía el bucle de a $1$ si va alrededor del bucle, se invierte la orientación. Este homomorphism es trivial iff $M$ es orientable. Desde $\mathbb{Z}/2$ es abelian, este homomorphism factores a través de la Hurewicz mapa de $\pi_1(M)\to H_1(M)$. En particular, esto significa que si $H_1(M)=0$, el homomorphism es trivial, por lo $M$ es orientable.

(Por cierto, la afirmación de que $\chi(M)=0$ no requieren $M$ a ser orientable--usted puede demostrar que el uso de mod $2$ la dualidad de Poincaré, por ejemplo).

Answer 2

Una rápida prueba de uso de Stiefel–Whitney clases: un colector $M$ es orientable si el primer SW de la clase $w_1(M) \in H^1(M;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ es cero. Pero por el universal coeficiente de teorema, $$H^1(M;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \operatorname{Hom}_\mathbb{Z}(H_1(M;\mathbb{Z}), \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = 0.$$

Por supuesto, bajo la campana yo no creo que haya algo más de lo que puedes encontrar en Eric Wofsey la respuesta, pero este argumento es muy simple y muestra el poder de la característica de las clases.