¿Qué son los "supernúmeros"?

Question

Estoy leyendo Hiperespacio de Michio Kaku y en el capítulo sobre la Supergravedad se mencionan los "Supernúmeros", que se describen como un sistema numérico en el que para cualquier supernúmero $a$ , $a*a=-a*a$ . Me preguntaba si alguien sabe algo más sobre estos números o puede indicarme otra referencia sobre ellos. Gracias.

Answer 1

OK, ya que no hay respuesta proporcionada, voy a hacer mi comentario uno:

Como puede leer aquí Los números de Grassmann son números construidos a partir de variables de Grassmann $\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_n$ con la propiedad especial de que son anticonmutación:

$$\{\theta_i,\theta_j\}=\theta_i\theta_j+\theta_j\theta_i = 0 \; .$$

En particular, $\theta_i^2=0$ .

Entonces se pueden estudiar los números que son combinaciones lineales de números ordinarios y números de Grassmann. Por ejemplo, si sólo tomamos una variable de Grassmann $\theta$ podemos hacer el número $1+\theta$ o $5+2\theta$ y luego puedes sumarlos o multiplicarlos utilizando las reglas introducidas:

$$(1+\theta)+(5+2\theta) = 6+3\theta$$

y

$$(1+\theta)\cdot(5+2\theta) = 5+5\theta+2\theta+2\theta^2 = 5+7\theta \; .$$

Estos números se denominan entonces probablemente supernúmeros ya que aparecen en el contexto de teorías de campo supersimétricas en física. La importancia de las variables de Grassmann en este caso es que permiten definir integrales de trayectoria para partículas fermiónicas. De hecho, incluso fuera de la supersimetría, en otros contextos como la teoría de la materia condensada donde se estudian los fermiones utilizando integrales de trayectoria, se utilizarán estas variables de Grassmann.

Answer 2

Si busca una referencia, el texto "Supermanifolds" de Bryce DeWitt ofrece una excelente visión pedagógica de los supernúmeros, el análisis sobre supernúmeros, los supermanifolds, los supergrupos de Lie y la supersimetría.