¿Cómo se integra $x^2 \frac{e^x}{(e^x+1)^2}$ ?

Question

¿Cómo puedo mostrar esto? $$ \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx = \pi^2/3$$

He intentado aplicar los residuos, pero el polo es de orden infinito(?).

Answer 1

Aquí presentamos un enfoque que utiliza " El truco de Feynmann "para diferenciar bajo la integral junto con Integración del contorno .

Dejemos que $I$ sea la integral dada por

$$I=\int_{-\infty}^\infty \frac{x^2e^x}{(e^x+1)^2}$$

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"EL TRUCO DE FEYNMANN"

Ejecución de la sustitución $x\to \log(x)$ revela

$$\begin{align} I&=\int_0^\infty \frac{\log^2(x)}{(x+1)^2}\,dx\\\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\left.\left(\frac{d^2}{da^2}\int_0^\infty \frac{x^a}{(x+1)^2}\,dx\right)\right|_{a=0}} \tag 1 \end{align}$$

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INTEGRACIÓN DEL CONTORNO

Para evaluar la integral en $(1)$ nos trasladamos al plano complejo y analizamos la integral de contorno cerrado $J(a)$ dado por

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{J(a)=\oint_C \frac{z^a}{(1+z)^2}\,dz} \tag 2$$

donde $C$ es el contorno clásico del "ojo de la cerradura" a lo largo del corte de la rama que se extiende desde el origen a lo largo del eje real no negativo.

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Evaluación mediante el teorema del residuo

Desde el Teorema del residuo , $J(a)$ viene dada por

$$\begin{align} J(a)&=2\pi i \text{Res}\left(\frac{z^a}{(1+z)^2}, z=-1\right)\\\\ &=2\pi i \left.\frac{d}{dz}\left((1+z)^2\frac{z^a}{(1+z)^2}\right)\right|{z=-1}\\\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{-2\pi i a e^{i\pi a}} \tag 2 \end{align}$$

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Descomponiendo $J(a)$

A continuación, escribimos $J(a)$ como

$$\begin{align} J(a)&=\int_0^\infty \frac{x^a}{(1+x)^2}\,dx-\int_0^\infty \frac{x^ae^{i2\pi a}}{(1+x)^2}\,dx\\\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{(1-e^{i2\pi a})\int_0^\infty \frac{x^a}{(1+x)^2}\,dx} \tag 3 \end{align}$$

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PONER LAS COSAS EN ORDEN

Desde $(2)$ y $(3)$ vemos que

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_0^\infty \frac{x^a}{(1+x)^2}\,dx=\frac{\pi a}{\sin(\pi a)}} \tag 4$$

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TERMINANDO CON ESTO

Por último, utilizando $(4)$ en $(1)$ revela

$$\begin{align} I&=\left.\left(\frac{d^2}{da^2}\frac{\pi a}{\sin(\pi a)}\right)\right|_{a=0}\\\\ &=\lim_{a\to 0}\left(\frac{\pi^3 a(1+\cos^2(\pi a))-2\pi^2 \cos(\pi a)\sin(\pi a)}{\sin^3(\pi a)}\right)\\\\\ &=\frac{\pi^2}{3} \end{align}$$

¡como se iba a mostrar!

Answer 2

Tenemos $$\frac d{dx}\frac1{e^x+1}=\frac{-e^x}{(e^x+1)^2}$$ También $$\frac{e^x}{(e^x+1)^2}=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$$ Así que $$\begin{align}\int_{-\infty}^{\infty}x^2\frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx&=2\int_0^{\infty}x^2\frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx=-2\int_0^{\infty}x^2\frac d{dx}\frac1{e^x+1}dx\\ &=\left.-2x^2\frac1{e^x+1}\right|_0^{\infty}+4\int_0^{\infty}\frac x{e^x+1}dx\\ &=0+4\int_0^{\infty}\frac{xe^{-x}}{e^{-x}+1}dx=4\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\int_0^{\infty}xe^{-(k+1)x}dx\\ &=4\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{\Gamma(2)}{(k+1)^2}=4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k^2}\\ &=4\left(1-\frac24\right)\zeta(2)=2\frac{\pi^2}6=\frac{\pi^2}3\end{align}$$

Answer 3

Otro enfoque. Tenemos $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}dx=2\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}dx=2\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}+1}dx-2\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}dx. $$ La primera integral es la clásica $$2\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}+1}dx=2\sum_{k\geq0}\left(-1\right)^{k}\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x\left(k+1\right)}dx $$ $$=4\sum_{k\geq0}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\left(k+1\right)^{3}}=3\zeta\left(3\right) $$ y de forma similar podemos calcular la otra integral $$2\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}dx=2\sum_{k\geq0}k\left(-1\right)^{k-1}\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x\left(k+1\right)}dx $$ $$=4\sum_{k\geq0}\frac{k\left(-1\right)^{k-1}}{\left(k+1\right)^{3}}=-\frac{\pi^{2}}{3}+3\zeta\left(3\right) $$ por lo que $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}dx=\frac{\pi^{2}}{3}$$ como se quería.

Answer 4

Empezaría por tratar de encontrar la integral indefinida, de la siguiente manera: $$ \frac{d}{dx} \frac{x2e^x}{(1+e^x)^2} = \frac{x^2e^x}{(1+e^x)^2}+2\frac{x e^x}{1+e^x} $$ Ahora vamos a intentar librarnos de la $2\frac{x e^x}{1+e^x}$ : $$ \frac{d}{dx} \left( 2x \log(1+e^x) \right) = 2\frac{x e^x}{1+e^x} + 2 \log(1+e^x) $$ Bueno, ahora tenemos que volver a añadir $2\int \log(1+e^x) dx$ . Pero esto es un progreso porque los dilogaritmos son tus amigos. (Se nota que no tengo muchos humano amigos). En particular, $$ \frac{d}{du} \mbox{Li}_2 (u) = -\frac{\log(1-u)}{u} $$ y si sustituimos $u=-e^x$ podemos encontrar que $$ \frac{d}{dx} \mbox{Li}_2 (-e^{x}) = -\log(1+e^x) $$ Así que podemos encontrar la integral indefinida: $$ \int\frac{x^2e^x}{(1+e^x)^2}dx = x^2\frac{e^x}{(1+e^x)^2}-2x\log(1+e^x) - 2\mbox{ Li}_2(-e^x) $$ Después de todo esto, merecemos estar cerca de terminar, pero ahora necesitamos encontrar el valor de la integral definida impropia. Queremos $$ \lim_{x\to\infty} \left[ x^2\frac{e^x}{(1+e^x)^2}-2x\log(1+e^x) - 2\mbox{ Li}_2(-e^x) -x^2\frac{e^{-x}}{(1+e^{_x})^2}-2x\log(1+e^{-x})+2\mbox{ Li}_2(-e^{-x})\right] $$ De estos seis términos, los tres últimos (es decir, los tres términos forman el lado negativo de la integral definida impropia) llegan a cero en el límite como $x->\infty$ . Nos quedamos con $$ \lim_{x\to\infty} \left[ x^2\frac{e^x}{(1+e^x)^2}-2x\log(1+e^x) - 2\mbox{ Li}_2(-e^x) \right] $$ Sabemos (al menos si hemos tenido un par de citas con dilogaritmos) que $$ \lim_{x\to\infty} \mbox{ Li}_2(-e^x) +\frac{x^2}{2} = -\frac{\pi^2}{6} $$ Es fácil ver que $$\lim_{x\to\infty} \left(x^2\frac{e^x}{(1+e^x)^2} -x^2 \right)=0 $$ Y no es muy difícil ver que $$\lim_{x\to\infty} \left( x\log(1+e^x) -x^2 \right)=0$$ (efectivamente, para los grandes $x$ El $1$ en el registro no importa para que el registro se vea como $x$ ).

Combinando estos límites, encontramos que nuestra respuesta es $$ \lim_{x\to\infty} \left[ \left(x^2\frac{e^x}{(1+e^x)^2} -x^2\right)\\ -2\left(x\log(1+e^x) -x^2\right)\\- 2 \left(\mbox{ Li}_2(-e^x) +\frac12 x^2 \right)\\+x^2-2x^2+x^2\right]\\ = 0 -2 \cdot 0 -2 \cdot \left( -\frac{\pi^2}{6}\right) = \frac{\pi^2}{3} $$