$Spin^c$ -Dirac-operador en el 3-toro

Question

Considera el giro c en el 3-toro plano estándar, que se obtiene de la estructura de espín trivial (o cualquier otra). Su haz vectorial asociado puede identificarse con un haz trivial con fibra $\mathbb{C}^2$ girar c Los operadores de Dirac en este haz están parametrizados por formas únicas y tienen el aspecto siguiente $D_\alpha = D_0+ic_\alpha$ , donde $D_0$ es el operador de Dirac de espín y el $c$ significa la multiplicación de Clifford.

Mi objetivo es ahora encontrar una descomposición espectral para $D_\alpha$ . Si α es cerrado, esto puede hacerse fácilmente reduciendo todo al caso en que α es armónico. El caso en el que α no es cerrado parece ser más complicado, por lo que me gustaría preguntar a la comunidad:

1. ¿Cuál es el espectro de $D_\alpha$ ?
2. ¿Cómo se construyen los vectores propios?

Gracias.

Answer 1

He aquí un posible comienzo poco prometedor que insinúa probables dolores de cabeza. Eleva al cuadrado el Dirac para obtener

$$ D_\alpha^2= \Delta+ c(d\alpha)$$

donde $c(d\alpha)$ denota la multiplicación Clifford por el $2$ -forma $d\alpha$ . Tenga en cuenta que

$$ {\rm spec}(D_\alpha^2)= \bigl(\; \mathrm{spec}(D_\alpha)\;\bigr)^2 $$

Para encontrar ${\rm spec}(D_\alpha^2)$ hay que entender el espectro de los operadores diferenciales ordinarios de la forma

$$ -\partial^2_\theta + A(\theta) $$

actuando sobre las funciones $u: S^1 \to \mathbb{C}^2$ donde $A(\theta)$ es un $2\times 2$ matriz compleja hermitiana que depende suavemente de $\theta\in S^1$ . No sé cómo encontrar el espectro de dicho operador, pero tal vez puedas encontrar algo en la literatura.