¿cuál es el papel de los haces de fibras de juego en la comprensión de la base del espacio?

Question

Supongamos $\pi: E\to B$ ser un haz de fibras, y asumir la $B$ está conectado, quiero saber:

1, ¿Qué hacen los haces de fibras (por ejemplo, la cobertura de los espacios) en $B$ ayudar a entender la topología, o la estructura en $B$? tal vez su (co)homología de grupos, homotopy grupos. etc.

2, Si hay ejemplos que muestran que, considerando en particular los haces de fibras de $B_1, B_2$, es la manera más fácil de distinguir $B_1, B_2$.

Answer 1

La comprensión de los haces de fibras de más de un espacio da un montón de información acerca de ese espacio.

El caso de base de cubrir los espacios que le dice sobre el grupo fundamental. Si conoce la categoría de cubrir espacios, por encima de X, se sabe que el grupo fundamental de la X. El grupo fundamental de X es el grupo de automorphism de la functor que envía un cubrir el espacio de la fibra de la que cubre el espacio en el punto de base. Sin embargo, si X e y son de trayectoria-conectado y han isomorfo fundamentales de los grupos, que han categorías equivalentes de cubrir los espacios. Por lo tanto, la información dada por cubrir espacios es exactamente el grupo fundamental.

Esto es bastante abstracto. Permítanme darles un ejemplo. Si usted tiene una cubierta espacio de $Y\to X$, elija dos puntos distintos en la fibra sobre el punto base de X y de trazar un camino entre estos puntos. Su imagen en X no es trivial elemento del grupo fundamental. En la práctica, para encontrar elementos en el grupo fundamental, uno tiene que encontrar cubriendo los espacios del espacio, que a menudo es más fácil.

Esta descripción de grupo fundamental en términos de cobertura de los espacios es genial, porque se generaliza. En la geometría algebraica, no tiene sentido hablar de curvas en una variedad/esquema. Sin embargo, hay una buena analógica de cobertura de los llamados espacios etale mapas. El uso de etale mapas se puede definir lo que se llama la etale grupo fundamental de una variedad.

Vector de paquetes de más de un espacio hasta isomorphisms formar un monoid directamente bajo la operación de suma. Si usted formalmente agregar una inversa a todos los elementos que monoid, se obtiene un abelian del llamado grupo de los 0 K-teoría de grupo $K^0(X)$. Uno puede realmente definir con mayor K la teoría de los grupos de $K^n(X)$ todos los $n\in\mathbb{Z}$ y resulta que la secuencia resultante de grupos formales similitudes con las cohomology. Enviar homotopy equivalencia a isomorphisms, han de Mayer-Vietoris secuencias. Este tipo de estructura se denomina generalizada cohomology de la teoría.

K-teoría tiene un montón de aplicaciones interesantes en homotopy teoría. Por ejemplo, la mejor prueba de que el invariante de Hopf uno utiliza el teorema de K-teoría. Otro ejemplo es en el cálculo de la estabilidad de homotopy grupos de esferas. Estos grupos son muy complicados, pero Adams fue capaz de calcular un pedazo grande se llama la imagen de J. Este cálculo se basa en gran medida en la K-teoría de las técnicas.

Realmente no puedo pensar en una respuesta natural para tu segunda pregunta. Supongo que se puede mostrar que el $S^1$ $R$ no homotopy equivalente al darse cuenta de que $S^1$ no trivial cubriendo espacios, $R$ no, pero eso es bastante aburrido. Un ejemplo que me gusta mucho es Milnor de la prueba de la existencia de esferas exóticas. La idea es considerar a $S^3$ haces de fibras de más de $S^4$. Tenga en cuenta que las siete dimensiones de la esfera se puede obtener de esa manera (ver $\mathbb{R}^8$ $\mathbb{H}^2$ donde $\mathbb{H}$ es el anillo de los cuaterniones, y luego considerar la proyección de mapa de $S^7\subset\mathbb{R}^8\to P\mathbb{H}$ el quaternionic proyectiva del espacio. Uno puede mostrar que este es un haz de fibras con fibra de $S^3$). Sin embargo, hay otros ejemplos de este tipo los haces de fibras que se homeomórficos a las siete de la esfera, pero no diffeomorphic (Milnor construir 6 exóticas esferas en que el papel y posteriormente se comprobó que existen 27 de ellos).