Sacar la raíz cuadrada de un número imaginario

Question

Sabemos que cuando tomamos la raíz cuadrada de un número real negativo, su realidad se "abre" y se introduce una dimensión "imaginaria" (caracterizada por la presencia de iota).

La pregunta es, ¿qué pasaría si se toma la raíz cuadrada de un número imaginario positivo? ¿Se dividirá la dimensión de nuevo, o se mantendrá en el nivel 1 de la dimensión imaginaria?

Answer 1

Todo número complejo distinto de cero $z$ tiene exactamente dos raíces cuadradas complejas - esto es una consecuencia de que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado ( Enlace a Wikipedia ). Si $$z=re^{i\theta}=r\cos(\theta)+ri\sin(\theta)$$ entonces las raíces cuadradas de $z$ son $$\begin{align*} \sqrt{r}e^{i\theta/2}&=\sqrt{r}\cos(\theta/2)+\sqrt{r}\,i\sin(\theta/2)\\ -\sqrt{r}e^{i\theta/2}&=-\sqrt{r}\cos(\theta/2)-\sqrt{r}\,i\sin(\theta/2) \end{align*}$$ En resumen, no hay números complejos cuyas raíces cuadradas no estén ya presentes en los propios números complejos, por lo que no hay nada más que "añadir".

Answer 2

Tal vez quiera resolver $z^2=i$ . Es fácil comprobar que $z=\pm\frac{\sqrt2}{2}(1+i)$ satisfacen la ecuación. En general, todo polinomio con coeficiente complejo tiene una raíz en $\mathbb C$ o, lo que es lo mismo, el campo complejo no tiene extensión de campo algebraico.

Answer 3

La función raíz cuadrada no se comporta tan bien en los números complejos, $\Bbb C$ como en los números reales (no negativos), $[0, \infty)$ . Es cierto que podemos encontrar exactamente dos soluciones a la ecuación $w^2 = z$ para cualquier $z \in \Bbb C$ pero, a diferencia de lo que ocurre en el entorno real habitual, no podemos elegir $w$ que depende continuamente de $z$ o, más exactamente, no hay ninguna función continua $g: \Bbb C \to \Bbb C$ tal que $g(z)^2 = z$ (para todos los $z \in \Bbb C$ ).

Computar directamente da que $$(\pm e^{\pi i / 4})^2 = \left[\pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i)\right]^2 = i,$$ por lo que para cualquier número imaginario $iy,$ tenemos que $$(\pm \sqrt{y} e^{\pi i / 4})^2 = iy,$$ es decir $\pm \sqrt{y} e^{\pi i / 4}$ son precisamente las raíces cuadradas de $iy$ . (Aquí, si $y < 0$ podemos tomar $\sqrt{y}$ para significar $i \sqrt{-y}$ o su negativo).

De forma más general, podemos escribir cualquier número complejo en forma polar como $$z = r e^{i \theta}$$ (aquí, $r \geq 0$ y $\theta \in \Bbb R$ ), y sus raíces cuadradas son precisamente $$\sqrt{r} e^{i \theta / 2}.$$

El hecho de que los números imaginarios (y, en general, los complejos) vuelvan a tener raíces cuadradas en los números complejos (y, en particular, que no necesitemos ampliar nuestro conjunto de números como hicimos al tomar la raíz cuadrada de un número real general) es una consecuencia de la Teorema fundamental del álgebra que dice que cualquier polinomio $p(z)$ (en nuestro caso, $z^2 - i y$ ) tiene precisamente $\deg p$ raíces en $\Bbb C$ . Más sugestivamente, esto significa que $\Bbb C$ es _algebraicamente cerrado_ .

Nota: Dicho esto, uno puede naturalmente incrustar $\Bbb C$ en objetos algebraicos más grandes (digamos, $\Bbb R$ -), en las que la noción de raíz cuadrada sigue teniendo sentido (pero con la advertencia de que generalmente se comporta peor). Quizá el ejemplo más bonito sea el de los cuaterniones, que suelen denotarse como $\Bbb H$ que podemos identificar (como espacio vectorial) con $\Bbb R^4$ (o $\Bbb C^2$ ) con elementos de base $1, i, j, k$ que satisfacen las fórmulas del producto $i^2 = j^2 = k^2 = -1$ , $ijk = -1$ . Este es un anillo de división, pero, como $ij = k \neq -k = ji$ es no conmutativo y por lo tanto, a diferencia de $\Bbb R$ y $\Bbb C$ no un campo. Las únicas raíces cuadradas en $\Bbb H$ de $1$ son $\pm 1$ pero el cálculo muestra directamente que $$(a i + b j + c k)^2 = -1$$ para cualquier $(a, b, c)$ tal que $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ Es decir, hay toda una $2$ -de (y en particular, infinitas) raíces cuadradas de $-1$ en $\Bbb H$ .

Answer 4

Básicamente, en lugar de grados y radianes, en un plano complejo podemos utilizar la multiplicación para expresar las rotaciones. Multiplicando por $1$ te lleva al mismo lugar, así que es el equivalente a 360 grados. Multiplicando por $-1$ es lo mismo que 180 grados. Multiplicando por $i$ es lo mismo que una rotación de 90 grados y multiplicando por $\sqrt{i}$ es lo mismo que girar 45 grados. Si se observa el valor en la circunferencia unitaria imaginaria de 45 grados se puede obtener el valor de $\sqrt{i}$ . Sin embargo, también hay que tener en cuenta que el valor negativo también es una solución cuando se trata de cualquier raíz par.

En general, la multiplicación por $\sqrt[n]{i}$ es lo mismo que un $90/n$ grado de rotación para poder encontrar cualquier raíz de $i$ si quieres.

Utilizamos la multiplicación para representar las rotaciones en un plano complejo porque no graficamos $x$ vs $y$ En lugar de ello, graficamos un número como un todo.

Answer 5

Otras respuestas han explicado por qué $\sqrt{i}$ es un número complejo, y se ha mostrado cómo calcularlo utilizando exponenciales complejos, pero también se puede calcular directamente.

Si quieres encontrar el número complejo $a + bi$ , donde $a$ y $b$ son números reales, tales que $\sqrt{i} = a + bi$ , entonces eleva al cuadrado ambos lados y resuelve $$i = (a + bi)^2.$$ Expandiendo el lado derecho, obtenemos $$i = a^2 + 2abi - b^2.$$ Ahora lo que podemos hacer es igualar las partes reales e imaginarias de ambos lados. Intuitivamente, la parte real no puede convertirse en imaginaria y la parte imaginaria no puede convertirse en real, por lo que son independientes. De forma más rigurosa, $\{1, i\}$ es un conjunto linealmente independiente sobre los reales (que de hecho forma una base para $\mathbb{C}$ en $\mathbb{R}$ ).

Obtenemos el sistema $$\begin{align} a^2 - b^2 &= 0\\ 2ab &= 1.\end{align}$$ Resolviendo la ecuación inferior para a se obtiene $$a=\frac{1}{2b},$$ y al introducirlo en la parte superior se obtiene $\frac{1}{4b^2} = b^2,$ es decir, $$b^4=\frac{1}{4}.$$ Como se trata de un cuártico, tiene cuatro soluciones, dadas por $$b=\pm \sqrt[4]{\frac{1}{4}},\pm i\sqrt[4]{\frac{1}{4}}.$$ Desde nuestro original $b$ se supone que es real, sólo utilizamos las dos primeras raíces. Por lo tanto, $$b=\pm\sqrt[4]{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2},$$ y $$a=\frac{1}{2b}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ Así que $$\sqrt{i}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i,$$ que puedes verificar elevando al cuadrado.