Hipersuperficie totalmente geodésica en una variedad hiperbólica compacta

Question

En [Zeghib: Laminations et hypersurfaces géodésiques des variétés hyperboliques, Annales scientifiques de l'ENS, 1991] se demuestra que en una variedad compacta de curvatura negativa sólo existe un número finito de hipersuperficies totalmente geodésicas (codim=1) sin autointersecciones.

Ahora mi pregunta: ¿Existe un ejemplo de tal variedad compacta M (con dim(M) > 2) , que permita incluso una hipersuperficie totalmente geodésica? ¿O un resultado que demuestre su existencia?

En las variedades de curvatura variable no está claro que exista siquiera una hipersuperficie totalmente geodésica.

En el caso de curvatura constante es claro en la cobertura universal (espacio hiperbólico), bur para un compacto ¿múltiple?

Answer 1

Ejemplos de dimensiones $3$ se desprende de los teoremas de hiperbolización para 3 manifolds combinados con la rigidez de Mostow. Supongamos que se tiene un 3manifold compacto $M$ con límite conectado $\partial M$ del género $\ge 2$ , de tal manera que $M$ es irreducible, atoroidal y acilíndrica y $\partial M$ es incompresible --- en resumen esto dice $M$ no tiene esferas, discos, ánulos o toros "mal encajados".

Ahora produzca un 3manifold cerrado $DM$ el "doble" de $M$ tomando el cociente de dos copias de $M$ identificando sus límites mediante el "mapa de identidad". De ello se desprende que $DM$ es irreducible, atoroidal y tiene un grupo fundamental infinito.

El manípulo cerrado $DM$ tiene una estructura hiperbólica; para ello se puede utilizar el teorema de hiperbolización original de Thurston, porque $\partial M$ se convierte en una superficie incompresible en $DM$ .

Por el teorema de rigidez de Mostow, el mapa de "reflexión" de $DM$ a sí mismo, intercambiando las dos copias de $M$ y siendo la identidad en $\partial M$ es una isometría. Por lo tanto, $\partial M$ es totalmente geodésico en $DM$ .

Answer 2

He aquí un ejemplo específico de un colector, conocida como la Thurston tripus o anudadas Y. Es descrito en el Ejemplo 3.3.12 de Thurston las Tres Dimensiones de la Topología y la Geometría, Volumen 1.

La siguiente imagen muestra un hiperbólico poliedro en $\mathbb{H}^3$ menor a la de Poincaré bola de modelo. Tiene la combinatoria de la estructura de un tetraedro truncado.

Este poliedro tiene las siguientes propiedades:

• Tiene cuatro congruentes caras triangulares. Estos son hiperbólicos triángulos equiláteros con $45^\circ$ de los ángulos en los vértices.

• Las otras cuatro caras son congruentes, no hexágonos regulares.

• Hay doce bordes donde un hexágono cumple un triángulo, cada uno con un ángulo diedro de $90^\circ$.

• Hay seis (corto) de los bordes donde los dos hexágonos cumplir, cada uno con un ángulo diedro de $30^\circ$.

Ahora, vamos a $P_1$ $P_2$ ser dos de estos poliedros. La siguiente imagen muestra un esquema para el encolado de la hexagonal caras de $P_1$ a el hexágono caras de $P_2$:

Aquí las letras que indican que los pares de hexágonos deben ser pegados, y los puntos de colores para indicar cuál de las seis posibles gluings a utilizar en cada cara. Por ejemplo, el hexágono con la etiqueta "D" de la izquierda está pegado a la hexagonal con la etiqueta "D" a la derecha a través de una reflexión a través de una línea horizontal, ya que esto hace que los puntos rojos, los puntos amarillos, y los puntos azules de la línea.

Deje $M$ $3$- manifold con frontera obtenidos por pegando $P_1$ $P_2$ en esto de la moda. Es fácil comprobar que todas las doce de la hexagonal hexagonal bordes de $P_1$ $P_2$ se identifican en $M$. Desde el ángulo diedro en cada uno de estos bordes es$30^\circ$$12\times 30^\circ = 360^\circ$, esto encolado da $M$ la estructura de un hyberbolic $3$-colector. (Tenga en cuenta que los dos vértices de cooperar, desde el enlace que hay en cada vértice está en el hemisferio dividido en doce cuñas.)

El límite de $M$ se compone de los ocho caras triangulares (cuatro de cada poliedro), y es fácil comprobar que estas ocho caras han sido pegados, de borde a borde para formar una superficie de género dos. Por otra parte, desde los ángulos diedros entre los hexágonos y los triángulos son de $90^\circ$, cada par adyacente de los triángulos se reúne en un $180^\circ$ ángulo, lo que significa que esta superficie es totalmente geodésica.

Podemos eliminar el límite al tomar el doble de $M$, es decir, la cerró $3$-colector obtenidos por pegando dos copias de $M$ a lo largo de sus fronteras. Desde $\partial M$ es totalmente geodésica, no tenemos que hacer más trabajo para poner una hiperbólica de la estructura de la doble de $M$, y la imagen de $\partial M$ será totalmente geodésica de la superficie en el doble.