Cerrar formulario de $\sum_{n=1}^\infty\frac{\psi(n+\frac{5}{4})}{(1+2n) (1 + 4n) ^ 2}$

Question

Esta pregunta surgió en el proceso de encontrar la solución a otro problema. Finalmente el problema se resolvió evitar el cálculo de esta suma, pero parece bastante interesante por su propia cuenta. Hay una forma cerrada para $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\psi(n+\frac{5}{4})}{(1+2n)(1+4n)^2},$$ donde $\psi(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$ es la función digamma?

Answer 1

Sí, lo hay.

La derivación, lo que implica un montón de ayuda de computadora de manipulaciones, es un poco larga, así que no lo voy a poner aquí ahora mismo, pero la respuesta es $$-2 C-C \gamma\frac{1}{2}C \pi+\frac{1}{4}\gamma \pi\frac{\pi ^2}{6}-\frac{\gamma \pi ^2}{8}+\frac{11}{64} \pi ^3-6 \Im\text{Li}_3\left(\frac{1+i}{2}\right)-3 C \log 2+\frac{1}{2} \gamma \log 2+\pi\log 2+\frac{3}{2} (\log 2)^2+\frac{3}{16} \pi (\log 2)^2+\frac{7}{4} \zeta(3) - \psi\left(\frac54\right),$$ donde $C$ es el catalán constante, $\gamma$ es de Euler gamma, y $\text{Li}_3$ es un polylogarithm, y (editado) el último término $\psi(5/4)=4-\gamma\frac\pi2-\log 8$ es allí porque todo lo que a continuación se calcula la suma de más de $n\geq0$, así que tengo que restar $n=0$ a partir de la respuesta de abajo para obtener la suma de más de $n\geq1$.

Editar para explicar el cálculo. La manera de obtener esto es escribir como la suma $$\frac18 S\left(\frac54\medio| \frac14,\frac14\right) - \frac18 S\left(\frac54\medio|\frac14,\frac12\right),$$ donde he introducido la notación $$S(\beta|\alpha_1,\alpha_2,\ldots) = \sum_{n\geq0} \frac{\psi(n+\beta)}{(n+\alpha_1)(n+\alpha_2)\cdots}.$$

El intermedio sumas que se pueden encontrar en forma cerrada principalmente mediante el uso de la representación integral de la función digamma, en la forma $$\psi(z_1)-\psi(z_2) = \int_0^1 \frac{dt}{1-t}(t^{z_2-1}-t^{z_1-1}),$$ una suma de representación en el formulario $$\psi(z+1)+\gamma = \sum_{k\geq1} \frac{1}{k} - \frac{1}{k+z},$$ y usando también la definición de la Lerch trascendente y su relación con la función hipergeométrica y la función beta incompleta: $$\Phi(z,s,a) = \sum_{n\geq0}\frac{z^n}{(n+a)^s},$$ $$\Phi(z,1,a) = z^{-a}B(z,a,0) = \frac{1}{a}F(1,a, 1+a, z).$$

El intermedio suma $S(\frac54;\frac14,\frac14)$ se puede encontrar utilizando $$\sum_{n\geq0}\frac{\psi(n+\frac54)+\gamma}{(n+\frac14)^2} = \sum_{n\geq0}\sum_{k\geq1} \frac{1}{(n+\frac14)^2}\left(\frac1k - \frac1{k+n+\frac14}\right) = \sum_{k\geq1} \frac{\psi(k+\frac14)-\psi(\frac14)}{k^2} = 4F\left(\begin{array}{c}1,1,1,1\\2,2,\frac54\end{array}\right) + \int_0^1 \frac{\log t\log(1-t)}{t(1-t)^{3/4}}\,dt,$$ donde $$\text{Li}_2(1) - \text{Li}_2(t) = \text{Li}_2(1-t) + \log t\log(1-t),$$ así \Left(\frac54\medio| \frac14,\frac14\right) = -\gamma\psi_1(1/4) + \sum_{n\geq0}\frac{\psi(n+\frac54)+\gamma}{(n+\frac14)^2}. $$

Usando la relación entre la función beta incompleta, el hecho de que este hipergeométrica es una repetición de la integral de la función beta incompleta (que se sepa, porque de los que están en la parte superior, y la coincidencia de dos en dos en la parte inferior) y el hecho de que no es una buena forma cerrada para la función beta incompleta con un racional primer parámetro cero y el segundo parámetro, así: $A$ B(z,p/q,0) = -\sum_{0\leq l < q} e^{-2\pi i l p/q}\log(1-z^{1/q}e^{2\pi i l/p}), \qquad p,q\in\mathbb{Z}, $$puede ser simplificado para$$ F\left( $$\begin{array}{c}1,1,1,1\\2,2,\frac54\end{array}$$ \right) = \frac{7}{32}\pi^3 - 12\Im\text{Li}_3\left(\frac{1+i}{2}\right) + \frac32\pi(\log 2)^2 + \pi^2\log 8 - 14\zeta(3). $$

El segundo intermedio suma puede ser simplificado con el uso de fracciones parciales en $\frac1{(n+\frac14)(n+\frac12)}$, y el hecho de que $$\sum_{n\geq0}\frac{1}{(n+\alpha_1)(n+\alpha_2)} = \frac{\psi(\alpha_1)-\psi(\alpha_2)}{\alpha_1-\alpha_2}.$$ Entonces \Left(\frac54\medio|\frac14,\frac12\right) + \gamma\frac{\psi(\frac12)-\psi(\frac14)}{\frac12-\frac14} = \sum_{n\geq 0}\frac{\psi(n+\frac54)+\gamma}{(n+\frac14)(n+\frac12)} = \sum_{k\geq1}\frac{\psi(k+\frac14)-\psi(\frac12)}{k(k-\frac14)}, $$donde he ampliado la diferencia de digamma funciona como una infinita suma de más de $k$ y realiza la suma de más de $n$. Esta expresión puede ser manejado mediante la representación integral para $\psi$ mencionó anteriormente, dando$$ \int_0^1\frac{dt}{1-t}\left( (12\log 2-2\pi)t^{-\frac12} - t^{-\frac34}\left( 4\log(1-t)+\frac{16}{3}tF\left(1,\frac34;\frac74;t\right)\right)\right) \\= 16C+\frac43\pi^2-8\pi\log 2-12(\log 2)^3. $$

Poner todo junto, y el uso de Mathematica para evaluar la más fácil sumas, le da a la expresión me dio anteriormente.

Básicamente, los pasos más importantes en la derivación son la representación integral para $\psi(x)-\psi(x)$ y la fórmula explícita para $B(z,\beta,0)$ cuando $\beta$ es un número racional. Por suerte todas las integrales luego de simplificar a algo Mathematica puede hacer en forma cerrada.

Yo no conozco a ningún patrón de referencia para este; la cuestión es básicamente la computación \frac{d}{d\epsilon}\big|_{\epsilon=0}F\left( $$\begin{array}{c}1,\frac12,\frac14,\frac14,\frac54+\epsilon\\ \frac32,\frac54,\frac54,\frac54 \end{array}$$ \right), $$ y, en general, los derivados de funciones hipergeométricas están dadas por Kampe de Feriet funciones, que no tiene una forma cerrada en términos de funciones hipergeométricas. Así que en general no debería haber ninguna forma cerrada, pero en este caso los parámetros están apenas a la derecha que todas las integrales que se puede hacer.

Cuando $Q(n)$ es alguna función racional de tener una fracción parcial de expansión de $\sum_k q_k (n+\alpha_k)^{s}$, la suma $$\sum_{n\geq0}P(n)(\psi(n+\beta)-\psi(\beta))$$ puede ser expresado en términos de sumas $$\sum_{n\geq0} \frac{\psi(n+\beta)-\psi(\beta)}{(n+\alpha)^s} = \int_0^1 B(v,\beta,0)\Phi " (v,s,\alpha)\,dv,$$ donde $\Phi'$ es el Lerch trascendente en instrumentos derivados. Si la suma de la izquierda diverge, es necesario considerar la expansión asintótica $$\sum_{n\geq0} \frac{\psi(n+\beta)-\psi(\beta)}{n+\alpha}z^n \\= \Theta(\log(1-z))^2 + \Theta(\log(1-z)) + S(\beta\alpha) + o(1), \qquad z\to1-$$ y sólo tomar no divergentes plazo $S(\beta\alpha)$ como el valor de la suma de $z\a 1$ (la divergencia en los términos deben ser independientes de $\alpha$ y cancelar cuando el parcial fracciones de $P(n)$ se suman).

Por lo que el problema de la evaluación de la suma $$\sum_{n\geq0}P(n)(\psi(n+\beta)-\psi(\beta))$$ se reduce a calcular expansiones asintóticas de las integrales de la forma $a$ z \int_0^1 B(u,\beta,0)\Phi'(z, u,s,\alpha)\,du, \qquad z\to1-. $$